Matura matematyka – Wykres funkcji liniowej

Funkcja liniowa

Funkcja, której wykres jest prostą. Opisana równaniem $\displaystyle y = ax + b$.

Wzór ogólny funkcji liniowej

Ogólny wzór funkcji liniowej to $\displaystyle y = ax + b$, gdzie $\displaystyle a$ to współczynnik kierunkowy, a $\displaystyle b$ to wyraz wolny.

Współczynnik kierunkowy

Wartość $\displaystyle a$ w równaniu $\displaystyle y = ax + b$, określa nachylenie prostej.

Wyraz wolny

Wartość $\displaystyle b$ w równaniu $\displaystyle y = ax + b$, to punkt przecięcia z osią Y.

Punkt przecięcia z osią Y

Miejsce, gdzie wykres przecina oś Y, co oznacza, że $\displaystyle x = 0$.

Kiedy funkcja rośnie?

Funkcja liniowa rośnie, gdy $\displaystyle a > 0$ (prosta wznosząca się).

Kiedy funkcja maleje?

Funkcja liniowa maleje, gdy $\displaystyle a < 0$ (prosta opadająca).

Wzór na współczynnik kierunkowy

Zmienność $\displaystyle y$ w stosunku do $\displaystyle x$: $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ dla dwóch punktów $\displaystyle (x_1, y_1)$ i $\displaystyle (x_2, y_2)$.

Postać kanoniczna funkcji liniowej

Można zapisać jako $\displaystyle y - y_1 = a(x - x_1)$, gdzie $\displaystyle (x_1, y_1)$ to dowolny punkt na prostej.

Równanie prostej w postaci ogólnej

Można zapisać jako $\displaystyle Ax + By + C = 0$, gdzie $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ to stałe.

Skala na wykresie

Skala osi X i Y musi być odpowiednio dobrana, aby dobrze zobrazować funkcję.

Rysowanie wykresu funkcji

Zazwyczaj zaczynamy od wyznaczenia punktu przecięcia z osią Y oraz dwóch dodatkowych punktów.

Symetria wykresu

Wykres funkcji liniowej nie ma osi symetrii, jest prostą.

Różnica między funkcją rosnącą a malejącą

Funkcja rosnąca: $\displaystyle a > 0$, funkcja malejąca: $\displaystyle a < 0$.

Uzupełnij zdanie: Wykres funkcji liniowej...

...jest zawsze prostą w układzie współrzędnych.

Co to jest punkt przegięcia?

Funkcje liniowe nie mają punktów przegięcia, mają stałe nachylenie.

Jakie są zastosowania funkcji liniowej?

Modelowanie zjawisk, np. w ekonomii czy fizyce, oraz analiza trendów.

Prawda czy fałsz: Wykres funkcji liniowej może być krzywą.

Fałsz, ponieważ wykres funkcji liniowej jest zawsze prostą.

Czy funkcja liniowa może mieć dwa współczynniki kierunkowe?

Nie, funkcja liniowa ma tylko jeden współczynnik kierunkowy.

Jak można zmienić wykres funkcji?

Zmieniając wartości $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$, zmieniamy nachylenie oraz miejsce przecięcia.

Przykład zastosowania funkcji liniowej

Modelowanie kosztów produkcji w zależności od ilości wyprodukowanych jednostek.

Prawda czy fałsz: Funkcja liniowa zawsze ma miejsce zerowe.

Fałsz, może nie mieć miejsca zerowego, jeśli $b eq 0$.