Matura matematyka – Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna liczby $\displaystyle x$ to odległość tej liczby od zera na osi liczbowej, oznaczana jako $\displaystyle |x|$. Przykład: $\displaystyle |3|=3$, $\displaystyle |-3|=3$.

Definicja wartości bezwzględnej

Dla liczby $\displaystyle x$: $\displaystyle |x| = x$, gdy $\displaystyle x ext{ ≥ 0}$; $\displaystyle |x| = -x$, gdy $\displaystyle x < 0$.

Zastosowanie wartości bezwzględnej

Używana jest do określenia odległości między dwoma punktami na osi liczbowej, np. $\displaystyle |a - b|$.

Równanie z wartością bezwzględną

Równania takie jak $\displaystyle |x| = a$ mają dwa rozwiązania: $\displaystyle x = a$ oraz $\displaystyle x = -a$.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle |x| ext{ zawsze jest liczbą dodatnią}$

Prawda, ponieważ wartość bezwzględna nie przyjmuje wartości ujemnych.

Różnica między $\displaystyle |x|$ a $\displaystyle -x$

$\displaystyle |x|$ jest zawsze nieujemne, podczas gdy $\displaystyle -x$ może być liczbą dodatnią lub ujemną.

Uzupełnij zdanie: $\displaystyle |x + 3| = 0$ oznacza, że...

...$\displaystyle x + 3 = 0$, co prowadzi do $\displaystyle x = -3$.

Własności wartości bezwzględnej

Dla dowolnych liczb $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$: $\displaystyle |a + b| ext{ ≤ } |a| + |b|$ (nierówność trójkąta).

Maksimum funkcji wartości bezwzględnej

Funkcja $\displaystyle f(x) = |x|$ osiąga maksimum na końcach przedziału rozpatrywanego.

Wykres funkcji wartości bezwzględnej

Wykres funkcji $\displaystyle f(x) = |x|$ to litera V, z wierzchołkiem w punkcie (0,0).

Równanie $\displaystyle |x - 2| = 5$

Rozwiązania to $\displaystyle x = 7$ i $\displaystyle x = -3$, po rozwiązaniu $\displaystyle x - 2 = 5$ oraz $\displaystyle x - 2 = -5$.

Zastosowanie w geometrii

Wartość bezwzględna służy do obliczania odległości między punktami w przestrzeni.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle |ab| = |a| imes |b|$

Prawda, ponieważ wartość bezwzględna iloczynu jest równa iloczynowi wartości bezwzględnych.

Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi

Równanie $\displaystyle |x + 1| + |x - 1| = 3$ wymaga rozpatrzenia różnych przypadków.

Uzupełnij zdanie: $\displaystyle |x| < a$ oznacza, że...

...$\displaystyle -a < x < a$, gdzie $\displaystyle a$ jest liczbą dodatnią.

Porównanie $\displaystyle |x|$ i $\displaystyle |y|$

Jeżeli $\displaystyle |x| < |y|$, to $\displaystyle x$ jest bliżej zera niż $\displaystyle y$.

Funkcja $\displaystyle f(x) = |x - c|$

Funkcja ta przesuwa wykres $\displaystyle f(x) = |x|$ w prawo o $\displaystyle c$ jednostek.

Wartość bezwzględna i funkcje

Funkcje zawierające wartości bezwzględne są często używane w analizie matematycznej.

Równanie $\displaystyle |x + 4| = |x - 2|$

Rozwiąż: $\displaystyle x + 4 = x - 2$ lub $\displaystyle x + 4 = -x + 2$.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle |x + y| = |x| + |y|$

Fałsz, to prawdziwe tylko w przypadku, gdy $\displaystyle x$ i $\displaystyle y$ mają ten sam znak.