Matura matematyka – Równania z wartością bezwzględną

Wartość bezwzględna

Dla liczby $\displaystyle x$, wartość bezwzględna oznaczana jako $\displaystyle |x|$ to odległość liczby $\displaystyle x$ od zera na osi liczbowej.

Równanie z wartością bezwzględną

Równanie, które zawiera wyrażenie z wartością bezwzględną, np. $\displaystyle |x - 3| = 5$.

Rozwiązanie równania $\displaystyle |x| = a$

Rozwiązania to $\displaystyle x = a$ oraz $\displaystyle x = -a$ dla $a eq 0$.

Przykład równania

Rozwiąż: $\displaystyle |x + 2| = 4$. Odpowiedzi: $\displaystyle x = 2$ oraz $\displaystyle x = -6$.

Właściwości wartości bezwzględnej

1. $|x| eq -x$\displaystyle dla każdego$x$ (nigdy nie jest ujemna). 2. $\displaystyle |x| = 0$ tylko gdy $\displaystyle x=0$.

Równania z dwiema wartościami bezwzględnymi

Równanie ma postać $\displaystyle |ax + b| = |cx + d|$. Rozwiąż jako dwa osobne przypadki.

Kiedy wartość bezwzględna zmienia znak

Zmienia się, gdy argument przechodzi przez zero. Sprawdź punkty, gdzie $\displaystyle x - c = 0$.

Równanie $\displaystyle |x - 1| = |x + 1|$

Rozwiązanie: $\displaystyle x = 0$, ponieważ $\displaystyle x - 1 = -(x + 1)$

Zasada rozwiązywania równań z |x|

Rozdziel równanie na dwa przypadki: $\displaystyle x = a$ i $\displaystyle x = -a$.

Przykład z parametrem

Rozwiąż: $\displaystyle |x - p| = q$. Odpowiedzi: $\displaystyle x = p + q$ oraz $\displaystyle x = p - q$.

Równanie $\displaystyle |x| + 3 = 7$

Rozwiązanie: $\displaystyle |x| = 4$ daje $\displaystyle x = 4$ oraz $\displaystyle x = -4$.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle |x| = 5$ ma 1 rozwiązanie.

Fałsz, ponieważ ma 2 rozwiązania: $\displaystyle x = 5$ oraz $\displaystyle x = -5$.

Równanie z innymi funkcjami

Rozwiązuj, izolując wartość bezwzględną: $\displaystyle |2x - 3| = x + 1$.

Zastosowanie wartości bezwzględnej

Używana w modelowaniu problemów dotyczących odległości, takich jak w geometrycznych zadaniach.

Różnica między $\displaystyle |x|$ a $\displaystyle x^2$

$\displaystyle |x|$ jest zawsze nieujemne, $\displaystyle x^2$ także, ale $\displaystyle |x|$ nie jest zdefiniowane dla wszystkich $\displaystyle x$.

Właściwości równań

Jeśli $\displaystyle |A| = |B|$, to $\displaystyle A = B$ lub $\displaystyle A = -B$.