Matura matematyka – Potęgi i pierwiastki

Potęga

Wyrażenie w postaci $\displaystyle a^n$, gdzie $\displaystyle a$ to podstawa, a $\displaystyle n$ to wykładnik.

Właściwości potęg

Podstawowe właściwości: $\displaystyle a^m imes a^n = a^{m+n}$, $\displaystyle \\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Suma potęg

Suma potęg $\displaystyle a^n + b^n$ jest różna od potęgi sumy, z wyjątkiem $\displaystyle n=1$.

Potęga zerowa

Każda liczba (oprócz zera) podniesiona do potęgi zerowej równa się 1: $\displaystyle a^0 = 1$.

Potęga ujemna

Wykładnik ujemny oznacza odwrotność: $\displaystyle a^{-n} = \\frac{1}{a^n}$.

Potęga wymierna

Postać $\displaystyle a^{\\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, gdzie $\displaystyle n$ to stopień pierwiastka.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle 2^3 = 8$

Prawda, ponieważ $\displaystyle 2^3 = 2 imes 2 imes 2 = 8$.

Różnica między potęgą parzystą a nieparzystą

Potęga parzysta zawsze daje wynik dodatni, natomiast nieparzysta zachowuje znak podstawy.

Uzupełnij zdanie: \displaystyle (-3)^2 = ___

9, ponieważ $\displaystyle (-3) imes (-3) = 9.$

Zastosowanie potęg

Używane w funkcjach wykładniczych, równaniach i przy analizie wzrostu.

Potęgowanie liczby 10

Liczby w postaci $\displaystyle 10^n$ reprezentują wartość w systemie dziesiętnym, np. $\displaystyle 10^3 = 1000$.

Bezwzględna wartość potęgi

Dla $\displaystyle a<0$, $\displaystyle |a^n| = (-a)^n$, gdzie $\displaystyle n$ jest liczbą naturalną.

Liczby całkowite w potędze

Dla $\displaystyle a$ całkowitych, $\displaystyle a^n$ zawsze jest całkowitą, gdy $\displaystyle n$ jest naturalne.

Potęga liczby ujemnej

Dla liczby ujemnej $\displaystyle (-a)^n$, wynik zależy od parzystości $\displaystyle n$.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle 3^{-2} = \\frac{1}{9}$

Prawda, ponieważ $\displaystyle 3^{-2} = \\frac{1}{3^2} = \\frac{1}{9}$.

Potęgi w równaniach

Równania z potęgami często rozwiązuje się poprzez logarytmy.

Wykładnik potęgi

Może być liczbą całkowitą, wymierną lub rzeczywistą.

Pierwiastek kwadratowy

Liczba $\displaystyle x$, dla której $\displaystyle x^2 = a$, oznaczany jako $\displaystyle ad{a}$.

Właściwości pierwiastków

Podstawowe: $\displaystyle ad{a} imes ad{b} = ad{ab}$ oraz $\displaystyle \frac{ ad{a}}{ ad{b}} = ad{\frac{a}{b}}$.

Pierwiastek z liczby ujemnej

Nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych, jest liczbą zespoloną.

Uzupełnij zdanie: \displaystyle ad{16} = ___

4, ponieważ $\displaystyle 4^2 = 16$.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle ad{a^2} = a$

Fałsz, ponieważ $\displaystyle ad{a^2} = |a|$.

Pierwiastki a stopnia n

Definiowane jako $\displaystyle a^{\\frac{1}{n}}$, gdzie $\displaystyle n$ jest liczbą naturalną.

Potęga pierwiastka

Zasada: $\displaystyle ( ad{a})^n = a^{\\frac{n}{2}}$.

Zastosowanie pierwiastków

W geometrii, analizie matematycznej i przy rozwiązywaniu równań.

Różnica między pierwiastkiem a potęgą

Pierwiastek to odwrotność potęgowania; $\displaystyle \rad{a} = a^{\\frac{1}{2}}$.

Uzupełnij zdanie: \displaystyle ad{a^2 + b^2} \leq ___

$\displaystyle \rad{2} \cdot max(a, b)$, z zastosowaniem nierówności Cauchy'ego.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle ad{0} = 0$

Prawda, ponieważ pierwiastek z zera to zero.

Pierwiastek z liczby całkowitej

Może być liczbą całkowitą lub niewłaściwą, np. $\displaystyle ad{2}$.

Złożone pierwiastki

Pierwiastki z wyrażeń algebraicznych, np. $\displaystyle ad{x^2 - 1}$.

Pierwiastek sześcienny

Definiowany jako liczba $\displaystyle x$, dla której $\displaystyle x^3 = a$, oznaczany jako $\displaystyle ad[3]{a}$.

Uzupełnij zdanie: \displaystyle ad{a^3} = ___

$\displaystyle a^{\\frac{3}{2}}$, pierwiastek sześcienny z $\displaystyle a^3$.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle ad{1} = 1$

Prawda, ponieważ pierwiastek z jedności to jedność.