Matura matematyka – Miejsce zerowe i monotoniczność

Miejsce zerowe funkcji

To wartość $\displaystyle x$, dla której $\displaystyle f(x) = 0$.

Jak znaleźć miejsca zerowe?

Należy rozwiązać równanie $\displaystyle f(x) = 0$.

Prawda czy fałsz: Miejsce zerowe może być tylko jedno.

Fałsz, ponieważ funkcja może mieć wiele miejsc zerowych.

Różnica między miejscem zerowym a miejscem przegięcia

Miejsce zerowe to $\displaystyle f(x) = 0$, natomiast miejsce przegięcia dotyczy zmiany wypukłości funkcji.

Jakie funkcje mają miejsca zerowe?

Funkcje wielomianowe, trygonometryczne i wykładnicze mogą mieć miejsca zerowe.

Przykład funkcji z jednym miejscem zerowym

$\displaystyle f(x) = x - 3$ ma miejsce zerowe w $\displaystyle x = 3$.

Uzupełnij zdanie: Miejsca zerowe funkcji $\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c$...

...są rozwiązaniami równania kwadratowego $\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$.

Jakie są metody znajdowania miejsc zerowych?

Metoda faktoryzacji, delta, wykres funkcji.

Prawda czy fałsz: Miejsca zerowe są zawsze liczbami całkowitymi.

Fałsz, mogą być również liczbami wymiernymi lub niewymiernymi.

Funkcja liniowa

Ma jedno miejsce zerowe, jeśli $a eq 0$\displaystyle w$f(x) = ax + b$.

Co to jest funkcja parzysta?

Funkcja spełniająca $\displaystyle f(-x) = f(x)$ dla każdego $\displaystyle x$.

Jakie znaczenie ma delta?

Delta ($\displaystyle riangle = b^2 - 4ac$) służy do określenia liczby miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

Uzupełnij zdanie: Jeżeli delta jest równa zero...

...to funkcja ma jedno miejsce zerowe.

Przykład funkcji z dwoma miejscami zerowymi

$\displaystyle f(x) = x^2 - 1$ ma miejsca zerowe w $\displaystyle x = 1$ i $\displaystyle x = -1$.

Monotoniczność funkcji

Oznacza, że funkcja jest rosnąca lub malejąca w danym przedziale.

Prawda czy fałsz: Funkcja może być zarówno rosnąca, jak i malejąca.

Fałsz, funkcja jest albo rosnąca, albo malejąca w danym przedziale.

Jak sprawdzić monotoniczność?

Analizując znak pochodnej $\displaystyle f'(x)$ w danym przedziale.

Funkcja rosnąca

Funkcja spełnia warunek $\displaystyle f(x_1) < f(x_2)$ dla $\displaystyle x_1 < x_2$.

Funkcja malejąca

Funkcja spełnia warunek $\displaystyle f(x_1) > f(x_2)$ dla $\displaystyle x_1 < x_2$.

Uzupełnij zdanie: Funkcja stała...

...jest monotoniczna, nie zmienia wartości.

Związek między pochodną a monotonicznością

Jeśli $\displaystyle f'(x) > 0$, funkcja jest rosnąca; jeśli $\displaystyle f'(x) < 0$, jest malejąca.

Przykład funkcji rosnącej

$\displaystyle f(x) = 2x + 1$ jest funkcją rosnącą dla wszystkich $\displaystyle x$.

Przykład funkcji malejącej

$\displaystyle f(x) = -3x + 5$ jest funkcją malejącą dla wszystkich $\displaystyle x$.

Co to jest ekstrema?

Ekstrema to maksima i minima funkcji, pomagają w analizie monotoniczności.

Prawda czy fałsz: Funkcja może mieć tylko jedno maksimum.

Fałsz, funkcja może mieć wiele ekstremów lokalnych.

Uzupełnij zdanie: Analiza wykresu funkcji...

...pomaga w określeniu jej monotoniczności.

Funkcja odwrotna

Ma monotoniczność odwrotną do funkcji oryginalnej.