Matura matematyka – Funkcje – dziedzina i monotoniczność

Dziedzina funkcji

Zbiór wszystkich wartości, dla których funkcja jest zdefiniowana.

Funkcja liniowa

Typ funkcji o postaci $\displaystyle f(x) = ax + b$, gdzie $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$ są stałymi.

Miejsce zerowe funkcji

Wartość $\displaystyle x$ taka, że $\displaystyle f(x) = 0$.

Różnica między funkcją a zbiorem

Funkcja przypisuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość, zbiór - może mieć wiele wartości.

Przykład dziedziny funkcji $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$

Dziedzina to $D_f = extbf{R} \backslash \begin{Bmatrix} 0 \\ ext{(wszystkie liczby oprócz 0)} \\ ext{(bo dzielenie przez 0 jest niedozwolone)} \\ ext{)} \\ ext{.} \\ ext{.} \\ ext{.} \\ ext{.} \\ ext{.} \\ ext{.} \\ ext{.} \\ ext{.} \\ ext{.} \\ ext{.} \\ ext{.} \\ ext{.}

Prawda czy fałsz: $\displaystyle D_f = extbf{R}$ dla $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}$

Fałsz, ponieważ $\displaystyle f$ nie jest zdefiniowane dla $\displaystyle x=1$.

Uzupełnij zdanie: Funkcje wymierne mają dziedzinę...

...wyłączając wartości, dla których mianownik jest równy zero.

Funkcja kwadratowa

Funkcja o postaci $\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c$, gdzie $a eq 0$.

Punkt przegięcia

Miejsce, w którym funkcja zmienia swoją monotoniczność.

Funkcja stała

Funkcja, dla której $\displaystyle f(x) = c$, gdzie $\displaystyle c$ jest stałą.

Dziedzina funkcji pierwiastkowej $\displaystyle f(x) = oot{n}{x}$

Dla $\displaystyle n$ parzystego, $\displaystyle D_f = [0, + ext{∞})$, dla $\displaystyle n$ nieparzystego $\displaystyle D_f = extbf{R}$.

Monotoniczność funkcji

Właściwość funkcji, która określa, czy rośnie, maleje lub jest stała.

Funkcja rosnąca

Funkcja, dla której $\displaystyle f(x_1) < f(x_2)$, gdy $\displaystyle x_1 < x_2$.

Funkcja malejąca

Funkcja, dla której $\displaystyle f(x_1) > f(x_2)$, gdy $\displaystyle x_1 < x_2$.

Prawda czy fałsz: Funkcja stała jest zawsze rosnąca.

Fałsz, funkcja stała nie zmienia wartości.

Szukając monotoniczności, badamy...

...pochodną funkcji $\displaystyle f'(x)$ oraz jej znaki.

Krytyczne punkty funkcji

Punkty, w których $\displaystyle f'(x) = 0$ lub $\displaystyle f'(x)$ nie istnieje.

Uzupełnij zdanie: Funkcja jest rosnąca w przedziale...

...gdy pochodna $\displaystyle f'(x) > 0$.

Postać ogólna funkcji kwadratowej

Można zapisać jako $\displaystyle f(x) = a(x-h)^2 + k$, gdzie $\displaystyle (h, k)$ to wierzchołek.

Kiedy funkcja osiąga maksimum?

Jeśli jej pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny.

Funkcja rosnąca na $\displaystyle (- ext{∞}, a)$

Oznacza, że dla $\displaystyle x_1, x_2 ext{ gdzie } x_1 < x_2 < a$, $\displaystyle f(x_1) < f(x_2)$.