Matura matematyka – Długość odcinka w układzie

Długość odcinka AB

Długość odcinka $\displaystyle AB$ w układzie współrzędnych oblicza się ze wzoru: $\displaystyle d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Współrzędne punktu A

Punkt $\displaystyle A(x_1, y_1)$ ma współrzędne $\displaystyle x_1$ oraz $\displaystyle y_1$, gdzie $\displaystyle x_1$ to odległość w poziomie, a $\displaystyle y_1$ w pionie.

Przykład obliczenia długości

Dla punktów $\displaystyle A(1, 2)$ i $\displaystyle B(4, 6)$ długość odcinka: $\displaystyle d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Różnica długości

Długość odcinka $\displaystyle AB$ jest równa długości odcinka $\displaystyle BA$.

Wykres odcinka

Odcinek w układzie współrzędnych przedstawia się jako linia łącząca dwa punkty, np. $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$.

Prawda czy fałsz: Długość odcinka może być ujemna.

Fałsz, ponieważ długość odcinka jest zawsze wartością dodatnią.

Przykład długości odcinka

Dla punktów $\displaystyle P(0, 0)$ i $\displaystyle Q(3, 4)$: $\displaystyle d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5$.

Co to jest odcinek?

Odcinek to część prostej zawierająca dwa końce i wszystkie punkty między nimi.

Uzupełnij zdanie: Długość odcinka ________ odległości między punktami.

Długość odcinka to miara odległości między punktami.

Co to jest układ współrzędnych?

Układ współrzędnych to system, w którym każdy punkt jest określony przez parę liczb (x, y).

Równanie odcinka

Równanie odcinka w postaci ogólnej można zapisać jako $\displaystyle Ax + By + C = 0$.

Jednostka długości

Długość odcinka w układzie współrzędnych mierzona jest w jednostkach odpowiadających osiom.

Odcinek a wektor

Odcinek można reprezentować jako wektor, który wskazuje kierunek i długość.

Porównanie długości odcinków

Długość odcinka $\displaystyle AB$ może być porównana z długością odcinka $\displaystyle CD$ na podstawie wzorów.

Wzór na długość odcinka

Długość odcinka $\displaystyle AB$ wyraża się wzorem: $\displaystyle d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Oblicz długość odcinka

Dla punktów $\displaystyle A(2, 3)$ i $\displaystyle B(5, 7)$: długość $\displaystyle d = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Co to jest wektor odcinka?

Wektor odcinka $\displaystyle AB$ to $\displaystyle \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$.

Wykres odcinka AB

Odcinek $\displaystyle AB$ na wykresie to linia łącząca punkty $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$.

Długość odcinka w geometrii analitycznej

W geometrii analitycznej długość odcinka obliczamy za pomocą wzoru Pitagorasa.

Prawda czy fałsz: Długość odcinka jest równa 0, gdy oba punkty są takie same.

Prawda, bo w takim przypadku nie ma odległości między punktami.

Jakie są współrzędne środka odcinka?

Współrzędne środka odcinka $\displaystyle AB$ to $\displaystyle C \left(\\frac{x_1 + x_2}{2}, \\frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

Uzupełnij zdanie: Długość odcinka ________ zawsze jest większa od zera.

Długość odcinka jest zawsze większa od zera.

Równanie prostokątne

Równanie odcinka w postaci prostokątnej to $\displaystyle y = mx + b$, gdzie $\displaystyle m$ to nachylenie.

Oblicz długość $\displaystyle PQ$

Dla punktów $\displaystyle P(-1, -1)$ i $\displaystyle Q(2, 3)$: $\displaystyle d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = 5$.

Porównanie długości

Długości odcinków są równe, gdy punkty końcowe są symetryczne względem środka.

Jak obliczyć długość odcinka w 3D?

W 3D długość odcinka obliczamy: $\displaystyle d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.