Funkcja kwadratowa – liceum

Funkcja kwadratowa

Funkcja w postaci $\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c$, gdzie $\displaystyle a \neq 0$.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Postać $\displaystyle f(x) = a(x - p)^2 + q$, gdzie $\displaystyle (p,q)$ to wierzchołek paraboli.

Miejsce zerowe funkcji kwadratowej

Miejsce, gdzie $\displaystyle f(x) = 0$. Wyznaczane z $\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$.

Delta ($\displaystyle \Delta$)

Wyznaczana jako $\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac$. Określa liczbę miejsc zerowych.

Równanie kwadratowe

Ogólna forma: $\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$. Rozwiązywane przez wzór kwadratowy.

Postać ogólna funkcji kwadratowej

$\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c$. Parametry: $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$.

Współczynnik $\displaystyle a$

$\displaystyle a > 0$: parabola w górę; $\displaystyle a < 0$: parabola w dół.

Wierzchołek paraboli

Punkt $\displaystyle (p, q)$, gdzie $\displaystyle p = -\\frac{b}{2a}$ oraz $\displaystyle q = f(p)$.

Wykres funkcji kwadratowej

Ma kształt paraboli. Symetryczny względem osi $\displaystyle x = p$.

Symetria funkcji kwadratowej

Funkcja jest parzysta względem wierzchołka.

Zbiór wartości funkcji kwadratowej

Dla $\displaystyle a > 0$: $\displaystyle [q, \infty)$; dla $\displaystyle a < 0$: $\displaystyle (-\infty, q]$.

Funkcja odwrotna do funkcji kwadratowej

Nie istnieje w ogólności. W szczególnych przypadkach można zdefiniować.

Maksimum i minimum funkcji kwadratowej

Maksimum: gdy $\displaystyle a < 0$. Minimum: gdy $\displaystyle a > 0$.

Zastosowanie funkcji kwadratowej

Modelowanie zjawisk fizycznych, ekonomicznych, optymalizacji.

Wzór kwadratowy

Miejsca zerowe wyznaczane są przez $\displaystyle x = \\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Przykład zadania

Rozwiąż $\displaystyle 2x^2 - 4x + 2 = 0$.

Warunki istnienia miejsc zerowych

$\displaystyle \Delta > 0$: 2 miejsca; $\displaystyle \Delta = 0$: 1 miejsce; $\displaystyle \Delta < 0$: brak miejsc.

Czy $\displaystyle x = 2$ jest miejscem zerowym?

Sprawdź $\displaystyle f(2)$. Jeśli $\displaystyle f(2) = 0$, to tak.

Równanie $\displaystyle x^2 - 5x + 6 = 0$

Miejsca zerowe: $\displaystyle x_1 = 2$, $\displaystyle x_2 = 3$.

Równanie $\displaystyle 3x^2 + 12x + 9 = 0$

Ma jedno miejsce zerowe, bo $\displaystyle \Delta = 0$.

Przekształcenie równań kwadratowych

Można przekształcać do postaci kanonicznej, by znaleźć wierzchołek.

Różnica między równaniami kwadratowymi

Równania różne przez parametry $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ mogą mieć różne rozwiązania.

Rozwiązywanie zadania o maksymalnej wartości

Znalezienie wierzchołka i wartości funkcji dla danych parametrów.

Funkcje o przeciwnych współczynnikach

Funkcje $\displaystyle f(x)$ oraz $\displaystyle -f(x)$ mają różne wierzchołki.

Funkcja kwadratowa a funkcja liniowa

Funkcja liniowa jest prostą, a kwadratowa tworzy parabolę.

Zasada Viete’a

Suma miejsc zerowych: $\displaystyle -\\frac{b}{a}$; iloczyn: $\displaystyle \\frac{c}{a}$.

Rozwiązywanie układów równań

Równania kwadratowe mogą być częścią układów z równaniami liniowymi.

Metoda faktoryzacji

Dla równania $\displaystyle x^2 - 5x + 6 = 0$: $\displaystyle (x - 2)(x - 3) = 0$.