Matura matematyka – Granica ciągu

Granica ciągu

Granica ciągu $\displaystyle a_n$ to wartość, do której dąży ciąg, gdy $\displaystyle n$ zmierza do nieskończoności.

Oznaczenie granicy

Granica ciągu $\displaystyle a_n$ zapisywana jest jako $\displaystyle ext{lim}_{n o ext{∞}} a_n = L$.

Ciąg zbieżny

Ciąg $\displaystyle a_n$ jest zbieżny, jeśli istnieje granica $\displaystyle L$, do której dąży.

Ciąg rozbieżny

Ciąg $\displaystyle a_n$ jest rozbieżny, jeśli nie ma granicy lub jest nieskończony.

Ciąg monotoniczny

Ciąg, który jest rosnący lub malejący, zachowując tę samą tendencję w całym okresie.

Ciąg ograniczony

Ciąg jest ograniczony, jeśli istnieją liczby $\displaystyle m$ i $\displaystyle M$, takie że $m eq a_n eq M$\displaystyle dla wszystkich$n$.

Ciągi arytmetyczne

Ciąg, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała: $\displaystyle a_n = a_1 + (n-1)d$.

Ciągi geometryczne

Ciąg, w którym stosunek między kolejnymi wyrazami jest stały: $\displaystyle a_n = a_1 r^{n-1}$.

Granica ciągu $\displaystyle a_n = \frac{1}{n}$

Granica tego ciągu wynosi 0, ponieważ $\displaystyle ext{lim}_{n o ext{∞}} \frac{1}{n} = 0$.

Granica ciągu $\displaystyle a_n = \frac{n^2}{n^2 + 1}$

Granica wynosi 1, ponieważ $\displaystyle ext{lim}_{n o ext{∞}} \frac{n^2}{n^2 + 1} = 1$.

Granica ciągu $\displaystyle a_n = \frac{n}{n+1}$

Granica tego ciągu wynosi 1, gdyż $\displaystyle ext{lim}_{n o ext{∞}} \frac{n}{n+1} = 1$.

Różnica między granicą a wartością

Granica ciągu może różnić się od wartości jego wyrazów dla dużych $\displaystyle n$.

Ciąg $\displaystyle b_n = (-1)^n$

Ciąg ten nie ma granicy, ponieważ oscyluje między 1 a -1.

Zbieżność ciągów

Ciąg $\displaystyle c_n = \frac{1}{n^2}$ jest zbieżny do 0, co można udowodnić przez definicję granicy.

Ciąg $\displaystyle d_n = \frac{2^n}{n!}$

Ciąg ten zbiega do 0, ponieważ $\displaystyle n!$ rośnie szybciej niż $\displaystyle 2^n$.