Granice i ciągłość – wprowadzenie

Granica funkcji

Wartość, do której dąży funkcja $\displaystyle f(x)$, gdy $\displaystyle x$ zbliża się do określonej liczby.

Oznaczenie granicy

Granica $\displaystyle f(x)$ w punkcie $\displaystyle a$: $\displaystyle ext{lim}_{x o a} f(x)$.

Granica jednostronna

Granica z lewej lub prawej strony: $\displaystyle ext{lim}_{x o a^-} f(x)$ lub $\displaystyle ext{lim}_{x o a^+} f(x)$.

Granica w nieskończoności

Granica funkcji, gdy $\displaystyle x$ dąży do $\displaystyle ext{∞}$: $\displaystyle ext{lim}_{x o ext{∞}} f(x)$.

Granica i ciągłość

Funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli $\displaystyle f(a) = ext{lim}_{x o a} f(x)$.

Granica nie istnieje

Granica nie istnieje, gdy funkcja ma różne wartości z lewej i prawej strony.

Różnica między granicą a wartością funkcji

Granica może istnieć, gdy wartość funkcji w punkcie nie istnieje.

Funkcja ciągła

Funkcja $\displaystyle f(x)$ jest ciągła w $\displaystyle a$, jeśli: $\displaystyle ext{lim}_{x o a} f(x) = f(a)$.

Oznaczenie ciągłości

Ciągłość funkcji w punkcie $\displaystyle a$: $\displaystyle C(a) o f(a)$.

Zasada zachowania granicy

Dla granic: $\displaystyle ext{lim}_{x o a} [f(x) + g(x)] = ext{lim}_{x o a} f(x) + ext{lim}_{x o a} g(x)$.

Granica iloczynu

Dla funkcji $\displaystyle f(x)$ i $\displaystyle g(x)$: $\displaystyle ext{lim}_{x o a} [f(x) imes g(x)] = ext{lim}_{x o a} f(x) imes ext{lim}_{x o a} g(x)$.

Granica stosunku

Dla $\displaystyle f(x)$ i $\displaystyle g(x)$: $\displaystyle ext{lim}_{x o a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ ext{lim}_{x o a} f(x)}{ ext{lim}_{x o a} g(x)}$, o ile $g(a) eq 0$.

Przykład granicy

Oblicz: $\displaystyle ext{lim}_{x o 2} (x^2 - 4)/(x - 2) = 4$.

Ciągłość w punkcie

Funkcja jest ciągła w punkcie $\displaystyle a$, jeśli $\displaystyle f(a)$ istnieje, $\displaystyle ext{lim}_{x o a} f(x)$ istnieje i są sobie równe.

Rodzaje nieciągłości

1. Nieciągłość skokowa, 2. Nieciągłość usunięta, 3. Nieciągłość nieokreślona.

Ciągłość na przedziale

Funkcja jest ciągła na przedziale, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

Ciągłość funkcji wielomianowej

Funkcje wielomianowe są ciągłe w każdym punkcie swojej dziedziny.

Ciągłość funkcji wymiernej

Funkcja wymierna jest ciągła tam, gdzie mianownik nie jest równy zero.

Ciągłość funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne są ciągłe w każdym punkcie swojej dziedziny.

Różnice w ciągłości

Ciągłość w punkcie to jedna z form ciągłości w przedziale.

Definicja ciągłości

Funkcja $\displaystyle f(x)$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle a$ jeśli: $\displaystyle \forall ext{ε} > 0, ext{ istnieje } ext{δ} > 0$.

Ciągłość a granica

Funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli granica jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Ciągłość a zbieżność

Ciągłość funkcji zapewnia zbieżność wartości funkcji do wartości w punkcie.

Przykład funkcji nieciągłej

Funkcja $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ jest nieciągła w $\displaystyle x=0$.

Obliczanie granicy ciągłej

Jeśli $\displaystyle f(x)$ jest ciągła w $\displaystyle a$, to: $\displaystyle ext{lim}_{x o a} f(x) = f(a)$.

Warunki ciągłości

1. Funkcja musi być określona, 2. Granica musi istnieć, 3. Granica = wartość funkcji.

Definicja ciągłości miejscowej

Ciągłość miejscowa dotyczy ciągłości w pewnym otoczeniu punktu.