Matura matematyka – Ciąg – wzór ogólny

Ciąg arytmetyczny

To ciąg liczbowy, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Dany jest jako $\displaystyle a_n = a_1 + (n-1) imes d$, gdzie $\displaystyle d$ to różnica.

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego

Oznaczany jako $\displaystyle a_1$, jest to wartość początkowa ciągu.

Różnica w ciągu arytmetycznym

Jest stała i oznaczana jako $\displaystyle d$. Przykład: $\displaystyle d = a_{n+1} - a_n$.

Podaj wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego.

Suma $\displaystyle S_n = \\frac{n}{2} (a_1 + a_n)$, gdzie $\displaystyle a_n$ to n-ty wyraz.

Właściwość ciągu arytmetycznego

Każdy wyraz można zapisać jako średnią arytmetyczną sąsiednich wyrazów.

Przykład ciągu arytmetycznego

Ciąg $\displaystyle 2, 5, 8, 11, ...$ z różnicą $\displaystyle d = 3$.

Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?

Użyj wzoru $\displaystyle a_n = a_1 + (n-1) imes d$.

Prawda czy fałsz: W ciągu arytmetycznym różnica $\displaystyle d$ jest zmienna.

Fałsz, ponieważ różnica jest stała.

Uzupełnij zdanie: Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego to ___

Suma $\displaystyle S_n = \\frac{n}{2} (a_1 + a_n)$.

Ciąg geometryczny

To ciąg liczbowy, w którym iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały.

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Dany jako $\displaystyle a_n = a_1 imes q^{(n-1)}$, gdzie $\displaystyle q$ to iloraz.

Użycie ciągów w matematyce

Ciągi są używane do opisu wzorów, reguł i zależności w liczbach.

Ciąg arytmetyczny malejący

Różnica $\displaystyle d$ jest ujemna, co powoduje, że wyrazy maleją.

Ciąg geometryczny

To ciąg, w którym każdy wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i stałej liczby $\displaystyle q$.

Różnica między ciągiem arytmetycznym a geometrycznym

W arytmetycznym dodajemy różnicę, w geometrycznym mnożymy przez iloraz.

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego

Oznaczany jako $\displaystyle a_1$, jest to wartość początkowa ciągu.

Iloraz w ciągu geometrycznym

Oznaczany jako $\displaystyle q$. Przykład: $\displaystyle q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}$.

Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu geometrycznego?

Użyj wzoru $\displaystyle a_n = a_1 \times q^{(n-1)}$.

Podaj wzór na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego.

Jeśli $q eq 1$\displaystyle ,$S_n = a_1 \\frac{1 - q^n}{1 - q}$.

Prawda czy fałsz: W ciągu geometrycznym iloraz $\displaystyle q$ jest zmienny.

Fałsz, ponieważ iloraz jest stały.

Ciąg geometryczny rosnący

Iloraz $\displaystyle q > 1$, co powoduje, że wyrazy rosną.

Ciąg geometryczny malejący

Iloraz $\displaystyle 0 < q < 1$, wyrazy maleją, ale są dodatnie.

Uzupełnij zdanie: Suma n wyrazów ciągu geometrycznego to ___

Suma $\displaystyle S_n = a_1 \\frac{1 - q^n}{1 - q}$.

Zastosowanie ciągów w życiu codziennym

Ciągi pojawiają się w przypadku analizy wzrostu populacji, finansach.

Ciąg geometryczny z pierwszym wyrazem 3 i ilorazem 2

Wyrazy: $\displaystyle 3, 6, 12, 24, ...$