Représentation paramétrique d'une droite résumé

Qu'est-ce qu'une représentation paramétrique ?

C'est une façon d'exprimer une droite à l'aide de paramètres. On utilise souvent des équations de la forme : $\displaystyle x = f(t)$ et $\displaystyle y = g(t)$.

Donner la forme générale d'une droite.

Une droite peut être représentée par : $\displaystyle y = mx + p$ où $\displaystyle m$ est la pente et $\displaystyle p$ l'ordonnée à l'origine.

Vrai ou faux : La représentation paramétrique ne nécessite pas de paramètre.

Faux, elle utilise un paramètre (souvent noté $\displaystyle t$) pour exprimer les coordonnées des points.

Complétez : Pour une droite passant par A(2, 3) avec direction (1, 2), les équations sont : $\displaystyle x = ...$ et $\displaystyle y = ...$

$\displaystyle x = 2 + t$ et $\displaystyle y = 3 + 2t$.

Comment obtenir les coordonnées d'un point sur une droite ?

Il suffit de choisir une valeur pour le paramètre $\displaystyle t$ et de substituer cette valeur dans les équations paramétriques.

Comparaison : Représentation paramétrique vs. forme explicite.

Paramétrique : $\displaystyle x = f(t)$, $\displaystyle y = g(t)$. Explicit : $\displaystyle y = mx + p$. La première est plus flexible pour les courbes.

Exemple de paramétrisation d'une droite.

Pour une droite de pente 2, passant par (1, 1) : $\displaystyle x = 1 + t$, $\displaystyle y = 1 + 2t$.

Quel est le rôle du paramètre $\displaystyle t$ ?

Il détermine les points de la droite en faisant varier $\displaystyle t$.

Vrai ou faux : Deux droites peuvent avoir la même représentation paramétrique.

Vrai, à condition que les équations soient proportionnelles.

Comment peut-on déterminer l'intersection de deux droites paramétriques ?

On égalise les équations : $\displaystyle x_1(t_1) = x_2(t_2)$ et $\displaystyle y_1(t_1) = y_2(t_2)$.

Complétez : La paramétrisation d'une droite verticale est : $\displaystyle x = ...$

$\displaystyle x = c$ (une constante) et $\displaystyle y = t$. La valeur de $\displaystyle x$ est fixe.

Quelles sont les applications pratiques ?

Modélisation de trajets, calculs de coûts dans un magasin, planification de routes.

Quel est l'avantage de la représentation paramétrique ?

Elle permet de mieux représenter les mouvements ou les chemins dans un espace.

Exemple d'un point sur une droite paramétrique.

Pour $\displaystyle t = 0$, avec $\displaystyle x = 1 + t$ et $\displaystyle y = 2 + 3t$, on obtient le point (1, 2).

Comment exprimer une droite dans le plan ?

Utilisez des équations : $\displaystyle x = x_0 + at$ et $\displaystyle y = y_0 + bt$ où $\displaystyle (x_0, y_0)$ est un point sur la droite.

Quelles informations sont nécessaires pour paramétrer une droite ?

Un point de passage et un vecteur directionnel.

Trajet d'un bus : équation paramétrique ?

Le trajet d'un bus reliant deux points A(2,3) et B(5,7) peut être représenté par : $\displaystyle x = 2 + 3t$ $\displaystyle y = 3 + 4t$ avec $\displaystyle 0 ≤ t ≤ 1$.

Situation de loyer : distance parcourue?

Un appartement coûte 800€ par mois à 10 km du centre. Parcours total = $\displaystyle d = 10t$. Pour $\displaystyle t = 1$, distance = 10 km.

Vrai ou faux : La représentation paramétrique est uniquement pour les droites.

Faux. Elle peut aussi décrire des courbes, mais est souvent utilisée pour les droites.

Comparaison : représentation paramétrique vs cartésienne.

Paramétrique : $\displaystyle x(t), y(t)$. Cartésienne : $\displaystyle y = mx + b$. Utilisation : la paramétrique est plus flexible pour décrire des mouvements.

Remplissez le blanc : Le coût d'un trajet à 0,2€/km sur 20 km est ____.

4€ Calcul : $\displaystyle C = 0,2 * 20$.

Exemple : déplacement d'un coureur.

Un coureur part de (0,0) et se déplace à (10,5) en 2 minutes : $\displaystyle x(t) = 5t$, $\displaystyle y(t) = \frac{5}{2}t$ pour $\displaystyle 0 ≤ t ≤ 2$.

Vitesse d'un véhicule : équation ?

Un véhicule roule à 60 km/h : $\displaystyle x(t) = 60t$ (distance en km après $\displaystyle t$ heures). Pour $\displaystyle t = 1$, $\displaystyle d = 60$ km.

Trajet d'un cycliste : équation.

Un cycliste part de (1,2) et atteint (4,6) : $\displaystyle x(t) = 1 + 3t$, y(t) = 2 + 4t, pour $\displaystyle 0 ≤ t ≤ 1$.

True or false: Paramétrique simplifies distance calculations.

True. Elle permet de modéliser directement des mouvements, facilitant le calcul de distances.

Exemple : chute d'un objet.

Un objet tombe depuis 100 m avec $\displaystyle y(t) = 100 - 5t^2$ (en m). Pour $\displaystyle t = 2$, $\displaystyle y = 80$ m.

Comparaison : vitesse constante vs variable.

Vitesse constante : $\displaystyle x(t) = vt$. Vitesse variable : $\displaystyle x(t) = at^2 + b$. Choisir selon la situation.

Calcul du temps : distance de 30 km à 15 km/h ?

Temps = $\displaystyle \frac{distance}{vitesse} = \frac{30}{15} = 2$ heures.

Trajet entre deux magasins : équation.

Deux magasins A(0,0) et B(3,4) : $\displaystyle x(t) = 3t$, y(t) = 4t, pour $\displaystyle 0 ≤ t ≤ 1$.

Vitesse d'un bateau : équation paramétrique ?

Un bateau se déplace de (2,1) à (8,5) : $\displaystyle x(t) = 2 + 6t$, y(t) = 1 + 4t$\displaystyle , pour$0 ≤ t ≤ 1$.

Exemple : déplacement d'une voiture.

Une voiture part de (0,0) et se dirige vers (3,6) : $\displaystyle x(t) = 3t$, y(t) = 6t$\displaystyle pour$0 ≤ t ≤ 1$.

Vrai ou faux : Paramétrique nécessite toujours des valeurs entières.

Faux. Les valeurs peuvent être réelles, comme pour des déplacements continus.

Représentation paramétrique d'une droite ?

Utilise un point et un vecteur directeur. Exemple : $\displaystyle A(1, 2)$, $\displaystyle v(2, 3)$. L'équation devient : $\displaystyle M(t) = A + t imes v$.

Vrai ou faux : la représentation paramétrique est unique.

Faux. Plusieurs représentations peuvent décrire la même droite selon le choix du point et du vecteur.

Pour résoudre un problème de trajet :

Définir les points de départ et d'arrivée. Utiliser la formule paramétrique pour modéliser le trajet.

Complète : Le vecteur directeur pour la droite passant par A(2, 3) et B(4, 7) est...

v = (4-2, 7-3) = (2, 4).

Exemple : Trajet d'un magasin à 5 km.

Point de départ A(0, 0), vecteur v(5, 0). Équation : $\displaystyle M(t) = (0, 0) + t(5, 0)$ pour $\displaystyle 0 ext{ à } 1$.

Comparaison : Représentation paramétrique vs cartésienne.

Paramétrique : $\displaystyle x(t), y(t)$. Cartésienne : $\displaystyle y = mx + b$. La paramétrique est plus flexible pour décrire des courbes.

Vrai ou faux : On peut utiliser des euros dans des problèmes paramétriques.

Vrai. Les paramètres peuvent modéliser des coûts, par exemple, $\displaystyle C(t) = 100 + 15t$ pour les dépenses.

Équation d'une droite passant par (1, 2) avec direction (3, 4) ?

$\displaystyle M(t) = (1, 2) + t(3, 4)$.

Conséquence : Changer le point de départ ?

Cela modifie l'équation de la droite. Exemple : partir de B(2, 3) change $\displaystyle M(t)$.

Problème : Déterminer le temps pour parcourir 10 km.

Avec une vitesse de 5 km/h, utiliser $\displaystyle t = \frac{d}{v} = \frac{10}{5} = 2$ heures.

Remplis : L'équation paramétrique d'une droite est...

M(t) = A + t imes v, où A est un point et v le vecteur.

Utiliser la représentation paramétrique pour une augmentation de loyer :

Si le loyer est 800€ et augmente de 50€ par an, $\displaystyle L(t) = 800 + 50t$.