Bac fonction exponentielle fiches

Qu'est-ce qu'une fonction exponentielle ?

C'est une fonction de la forme $\displaystyle f(x) = a^x$ où $\displaystyle a > 0$ et $\displaystyle a \neq 1$.

Propriétés de la fonction exponentielle.

Elle est toujours positive, croissante pour $\displaystyle a > 1$ et décroissante pour $\displaystyle 0 < a < 1$.

Calculer $\displaystyle f(2)$ pour $\displaystyle f(x) = 3^x$.

On a $\displaystyle f(2) = 3^2 = 9$.

Quel est le taux de croissance de $\displaystyle f(x) = 2^x$ ?

Le taux de croissance est proportionnel à la valeur de la fonction elle-même, donc exponentiel.

Vrai ou faux : $\displaystyle f(x) = 0$ pour une fonction exponentielle.

Faux, une fonction exponentielle ne peut jamais être nulle.

Quelle est la valeur de $\displaystyle f(0)$ ?

Pour toute fonction exponentielle, $\displaystyle f(0) = 1$.

Complétez : $\displaystyle f(x) = a^x$ est croissante si ____.

si $\displaystyle a > 1$.

Comparaison : $\displaystyle f(x) = 2^x$ vs $\displaystyle g(x) = 3^x$.

$\displaystyle g(x)$ croît plus rapidement que $\displaystyle f(x)$ pour $\displaystyle x > 0$.

Quelle application pratique pour les fonctions exponentielles ?

Elles modélisent la croissance des populations et le calcul des intérêts composés.

Calculer $\displaystyle f(3)$ pour $\displaystyle f(x) = 5^x$.

On a $\displaystyle f(3) = 5^3 = 125$.

Expliquer le logarithme d'une fonction exponentielle.

Le logarithme inverse la fonction exponentielle : si $\displaystyle y = a^x$, alors $\displaystyle x = \log_a(y)$.

Quel est le graphique de $\displaystyle f(x) = 4^x$ ?

Il est exponentiellement croissant et passe par le point (0,1).

Vrai ou faux : la dérivée de $\displaystyle f(x) = e^x$ est $\displaystyle e^x$.

Vrai, la fonction exponentielle est unique par sa dérivée.

Complétez : $\displaystyle f(x) = e^{kx}$ est ____ si $\displaystyle k>0$.

est croissante.

Qu'est-ce que l'intérêt compounding ?

C'est l'intérêt calculé sur le capital initial ainsi que sur les intérêts accumulés.

Calculer l'intérêt composé : 1000€ à 5% pendant 3 ans.

Montant = 1000 * $\displaystyle (1 + 0.05)^3$ = 1157.63€.

Quelle est la limite de $\displaystyle f(x) = a^x$ quand $\displaystyle x \to -\infty$ ?

La limite est 0.

Vrai ou faux : $\displaystyle f(x) = a^x$ intersecte l'axe des x.

Faux, elle ne touche jamais l'axe des x.