Loi binomiale contrôle qualité fiche bac

Un magasin reçoit 100 produits, 10 sont défectueux. Quelle est la probabilité d'en trouver 3 ?

Utiliser la loi binomiale : $\displaystyle P(X=3) = \\binom{100}{3} \times (0.1)^3 \times (0.9)^{97}$.

Vrai ou faux : La loi binomiale ne s'applique qu'aux échantillons de taille fixe.

Vrai. La loi binomiale est définie pour un nombre fixe d'essais.

Complétez : Si la probabilité de succès est 0,2, la probabilité d'échec est ____.

0,8 (puisque $\displaystyle P(échec) = 1 - P(succès)$).

Comparaison : loi binomiale vs loi normale

- Binomiale pour un nombre discret d'événements. - Normale pour des distributions continues.

Un lot de 50 pièces, 5 présentent un défaut. Quelle probabilité de 2 défauts ?

Calculer : $\displaystyle P(X=2) = \\binom{50}{2} \times (0.1)^2 \times (0.9)^{48}$.

Que représente n dans la loi binomiale ?

n représente le nombre total d'essais (ex. : 100 produits testés).

Problème d'un contrôle qualité : 80% de réussite, 10 tests réalisés, 7 succès. Est-ce probable ?

Calculer $\displaystyle P(X=7)$, si faible, réévaluer le processus de qualité.

Un produit est défectueux avec une probabilité de 0,05. Quelle est la probabilité de 0 défauts dans 20 tests ?

$\displaystyle P(X=0) = \\binom{20}{0} \times (0.05)^0 \times (0.95)^{20} = 0.3585$.

Complétez : Pour un échantillon de 30 pièces, la moyenne d'échec est de 3. La probabilité de 4 défauts est ____.

Calculer avec la loi binomiale pour n=30, p=0.1.

Quelle est la variance de la loi binomiale ?

$\displaystyle Var(X) = n imes p imes (1-p)$.

Un produit est contrôlé, 10% défectueux. Probabilité de 1 ou 2 défectueux dans 15 tests ?

Calculez $\displaystyle P(X=1) + P(X=2)$ avec $\displaystyle p=0.1$, $\displaystyle n=15$.

Problème : 100 pièces, 15% défectueuses. Quelle est la probabilité d'au moins 10 défectueuses ?

Calculer $\displaystyle P(X \geq 10)$ avec la loi binomiale.

Vrai ou faux : La loi binomiale est symétrique pour p=0.5.

Vrai. Quand p=0.5, la distribution est symétrique autour de $\displaystyle n/2$.

Un fabricant produit 200 pièces, 5% défectueuses. Combien de défauts attendus ?

Attendu : $\displaystyle E(X) = n imes p = 200 imes 0.05 = 10$.

Si la probabilité est 0,3, quelle est celle d'avoir 3 succès en 10 essais ?

$\displaystyle P(X=3) = \\binom{10}{3} \times (0.3)^3 \times (0.7)^7$.

Un processus a 90% de conformité. Quelle est la probabilité d'au moins 8 conformités sur 10 ?

Calculer $\displaystyle P(X \geq 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$.

Calcul de la probabilité d'une erreur

Pour un produit, probabilité d'erreur = 0,02. Si 100 produits sont contrôlés, la probabilité d'avoir exactement 3 erreurs est donnée par la loi binomiale : $\displaystyle P(X=3) = C(100,3) imes (0,02)^3 imes (0,98)^{97} = 0,1845$.

Formule de la loi binomiale

$\displaystyle P(X=k) = C(n,k) imes p^k imes (1-p)^{n-k}$ où : - $\displaystyle n$ = nombre d'essais - $\displaystyle k$ = nombre de succès - $\displaystyle p$ = probabilité d'un succès

Représentation graphique

La distribution binomiale est symétrique pour $\displaystyle p=0,5$. Changements de $\displaystyle p$ modifient la forme de la distribution.

Calculer la moyenne d'une loi binomiale

Pour $\displaystyle n=50$ et $\displaystyle p=0,1$, la moyenne est : $\displaystyle E(X) = n imes p = 50 imes 0,1 = 5$. Cela signifie qu'en moyenne, on attend 5 succès.

Vrai ou faux: La somme des probabilités égale 1.

Vrai. Pour une loi binomiale, la somme des probabilités pour tous les résultats possibles est 1.

Effet du nombre d'essais sur la variance

La variance est donnée par : $\displaystyle Var(X) = n imes p imes (1-p)$. Plus $\displaystyle n$ augmente, plus la variance augmente.

Compléter: Pour $\displaystyle n=20$, $\displaystyle p=0,3$, $\displaystyle P(X=5)$...

... se calcule comme $\displaystyle P(X=5) = C(20,5) imes (0,3)^5 imes (0,7)^{15}$.

Comparaison entre loi binomiale et loi normale

- Loi binomiale : résultats discrets, pour un nombre fixe d'essais. - Loi normale : résultats continus, souvent utilisée pour de grands $\displaystyle n$.

Erreur de contrôle qualité

Dans un lot de 200 pièces, la probabilité d'une erreur = 0,05. Quelle est la probabilité d'avoir au moins 5 erreurs ? Utiliser la complémentaire.

Exemple pratique : contrôle de frais de port

Si 90 commandes sont traitées et 10% ont une erreur, la probabilité d'exactement 12 erreurs est calculée avec la loi binomiale.

Vrai ou faux: $\displaystyle C(n,k)$ peut être négatif.

Faux. $\displaystyle C(n,k)$ (coefficients binomiaux) est toujours positif et défini seulement pour $\displaystyle n ext{ et } k$ non négatifs.

Impact du taux d'erreurs sur le contrôle qualité

Plus le taux d'erreurs ($\displaystyle p$) augmente, plus la probabilité d'avoir plusieurs erreurs dans un échantillon augmente, influençant les décisions de contrôle.

Interpréter P(X = k) dans une entreprise.

Représente la probabilité d'obtenir exactement k produits défectueux dans un échantillon, essentiel pour le contrôle qualité.

Vrai ou faux : P(X > k) est plus utile que P(X < k) pour une entreprise.

Faux. P(X < k) permet de vérifier si le nombre de défectueux est acceptable.

Que signifie E(X) dans le cadre de la loi binomiale ?

E(X) représente le nombre moyen attendu de succès, calculé par $\displaystyle E(X) = n imes p$.

Comparaison : P(X = k) vs P(X ≤ k).

P(X = k) donne la probabilité d'exactement k, tandis que P(X ≤ k) inclut tous les cas jusqu'à k.

Interprétation d'un résultat : P(X ≤ 2) = 0,85.

Cela signifie qu'il y a 85% de chances d'avoir 2 ou moins de produits défectueux dans l'échantillon.

Que signifie une variance élevée dans le contrôle qualité ?

Indique une grande dispersion dans le nombre de produits défectueux, ce qui peut poser problème pour la production.

Complétez : Pour un contrôle qualité réussi, P(X ≤ k) doit être _____.

suffisamment élevé pour garantir la satisfaction client et la conformité.

Exemple pratique : 5% de défauts, n = 100.

E(X) = 100 * 0,05 = 5. On s'attend donc en moyenne à 5 défauts dans cet échantillon.

Effet d'une augmentation de p sur E(X).

Augmenter p augmente E(X), donc plus de produits défectueux attendus.

Vrai ou faux : Une faible variance est toujours bonne.

Vrai. Cela signifie que la qualité est constante et prévisible, ce qui est préférable.

Interprétation de P(X = 0) dans un contrôle qualité.

Cela indique la probabilité qu'aucun produit ne soit défectueux, essentiel pour évaluer la qualité globale.

Situation : P(X ≤ 3) = 0,90. Que conclut-on ?

Il y a 90% de chances d'avoir 3 produits défectueux ou moins, ce qui est acceptable pour un taux de défaut.