Formule des probabilités totales fiche bac

Probabilité totale

La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités conditionnelles de A sachant B_i multipliées par les probabilités de B_i : $\displaystyle P(A) = ext{sommed} P(A|B_i)P(B_i)$.

Formule des probabilités totales

Pour un événement $\displaystyle A$ et des événements $\displaystyle B_1, B_2, ..., B_n$ disjoints et exhaustifs, on a : $\displaystyle P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n)$.

Événements disjoints

Deux événements sont disjoints s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Exemple : tirer une carte rouge ou noire.

Utilisation dans un magasin

Si un client a 70% de chances d'acheter un produit A et 30% un produit B, on peut calculer la probabilité totale qu'il achète un produit.

True or False: $\displaystyle P(A) = P(B) + P(A|B)$

Faux. On ne peut pas additionner ainsi sans respecter les conditions de la formule des probabilités totales.

Probabilité conditionnelle

C'est la probabilité d'un événement A sachant qu'un événement B s'est produit : $\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A ext{ et } B)}{P(B)}$.

Situation avec trajet

Si 60% des étudiants prennent le bus et 40% le vélo, on peut évaluer la probabilité qu'un étudiant arrive à l'heure selon son moyen de transport.

Fill in the blank: $\displaystyle P(A) = P(A|B) imes P(B) + ...$

$\displaystyle P(A|B') imes P(B')$, où $\displaystyle B’$ est l’événement complémentaire.

Événements exhaustifs

Une collection d'événements est exhaustive si la somme de leurs probabilités est égale à 1. Exemple : tous les résultats possibles d'un lancer de dé.

Calcul de la probabilité totale

Soit $\displaystyle A$ l'achat d'un produit, $\displaystyle B_1$ = produit A, $\displaystyle B_2$ = produit B. Si $\displaystyle P(A|B_1) = 0.7$, $\displaystyle P(B_1) = 0.5$, alors $\displaystyle P(A) = 0.7 imes 0.5 + P(A|B_2) imes P(B_2)$.

Comparaison de deux méthodes

Méthode directe vs. méthode des probabilités totales. La méthode des probabilités totales est utile pour des événements conditionnels. Directe : addition simple des probabilités.

Exemple chiffré avec loyer

Si 30% des locataires paient leur loyer à temps ($\displaystyle A$) et 70% en retard ($\displaystyle B$), avec $\displaystyle P($A$\displaystyle |$B$\displaystyle ) = 0.8, calculez$P(A)$.

Impact des événements conditionnels

Savoir que $\displaystyle B$ s'est produit peut changer la probabilité de $\displaystyle A$. Exemple : si un étudiant a réussi ses examens, cela change la probabilité qu'il soit accepté à une école.

Probabilité totale avec trois événements

Pour $\displaystyle P(A)$ avec $\displaystyle B_1$, $\displaystyle B_2$, $\displaystyle B_3$: $\displaystyle P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + P(A|B_3)P(B_3)$.

True or False: $\displaystyle P(B) = 1 - P(B')$

Vrai. La probabilité d’un événement est égale à 1 moins la probabilité de son complément.

Données sur les salaires

Si 40% des employés sont à temps partiel ($\displaystyle B_1$) et 60% à temps plein ($\displaystyle B_2$), on peut évaluer la probabilité qu'un employé gagne un certain salaire ($\displaystyle A$).

Exemples d'applications

Probabilités totales utilisées pour prévoir des ventes, des coûts logistiques, ou estimer des délais de livraison.

Probabilité d'un événement commun

Pour $\displaystyle A$ et $\displaystyle B$: $\displaystyle P(A ext{ et } B) = P(A|B)P(B)$ et $\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A ext{ et } B)}{P(B)}$.

Résultats avec des pourcentages

Si 50% des clients achètent en promo ($\displaystyle B$) et que $\displaystyle P(A|B) = 0.9$, alors la probabilité que $\displaystyle A$ se produise est élevée.

Calcul de la probabilité totale ?

Pour un événement $\displaystyle A$, on utilise : $\displaystyle P(A) = ext{ somme des } P(A|B_i) imes P(B_i)$ avec $\displaystyle B_i$ comme événements exhaustifs. Exemple : Si $\displaystyle B_1$ = clients réguliers et $\displaystyle B_2$ = nouveaux clients, calculez $\displaystyle P(A)$.

Situation d'un magasin : clients fidèles ou occasionnels ?

Un magasin a 60% de clients fidèles et 40% occasionnels. Si un client achète, quelle est la probabilité qu'il soit fidèle ? Utilise la formule des probabilités totales.

Exemple de trajet : pluie ou pas ?

Il pleut 30% du temps. Si je fais un trajet, quelle est la probabilité que je prenne mon parapluie ? P(parapluie) = P(pluie) * P(parapluie|pluie) + P(soleil) * P(parapluie|soleil).

Salaire des employés : temps partiel ou plein temps ?

40% des employés sont à temps partiel et gagnent en moyenne 800 euros. 60% sont à plein temps et gagnent 2000 euros. Quel est le salaire moyen ?

Vente de produits : échec ou succès ?

Un produit a 70% de chances de succès dans un magasin et 30% d'échec. Si 10 produits sont vendus, quelle est la probabilité d'avoir exactement 7 succès ?

Loyer : étudiants ou travailleurs ?

Dans un quartier, 80% des occupants sont des étudiants et 20% des travailleurs. Les étudiants paient en moyenne 600 euros et les travailleurs 1200 euros. Quel loyer moyen ?

Réduction en magasin : clients avec ou sans carte ?

60% des clients ont une carte de fidélité. Parmi eux, 50% utilisent une réduction. Quelle est la probabilité qu'un client utilise une réduction ?

Transport : marche ou véhicule ?

Sur 100 personnes, 40% marchent, 30% utilisent un véhicule et 30% prennent les transports en commun. Quelle est la probabilité qu'une personne choisisse un véhicule ?

Attente à la caisse : rapide ou lente ?

30% des files d'attente sont rapides, 70% lentes. Si la moyenne d'attente est de 5 minutes pour rapide et 15 pour lente, quel temps d'attente moyen ?

Risques d'accidents : ville ou campagne ?

Dans une ville, le risque d'accident est de 2% et en campagne de 1%. Quelle est la probabilité d'accident pour un trajet en ville ?

Évaluation des examens : notes supérieures à 10 ?

Un examen a 50% de chances d'avoir un élève qui réussit. Parmi ces élèves, 80% ont plus de 10. Quelle est la probabilité qu'un élève pris au hasard ait plus de 10 ?

Météo : temps ensoleillé ou nuageux ?

Il y a 70% de jours ensoleillés et 30% de jours nuageux. Quelle est la probabilité d'avoir au moins deux jours ensoleillés sur une semaine ?

Répartition des notes : examens réussis ou échoués ?

60% des élèves passent l'examen et 40% échouent. Parmi ceux qui échouent, 10% se réinscrivent. Quelle est la probabilité qu'un élève échouant se réinscrive ?

Délai de livraison : ponctuel ou en retard ?

Une entreprise a 90% de livraisons ponctuelles. Si un client commande, quelle est la probabilité qu'il reçoive son colis à temps ?

Proposition d'emploi : accepté ou refusé ?

Un candidat a 75% de chances d'accepter une offre. Si l'offre est faite à 5 candidats, quelle est la probabilité qu'au moins 3 acceptent ?

Visites médicales : régulières ou occasionnelles ?

Dans une clinique, 20% des patients viennent régulièrement, 80% occasionnellement. Probabilité qu'un patient pris au hasard soit régulier ?

Avis sur un produit : positif ou négatif ?

70% des avis sur un produit sont positifs. Si on lit 10 avis, quelle est la probabilité d'avoir au moins 7 avis positifs ?

Taux de satisfaction : clients satisfaits ou insatisfaits ?

80% des clients sont satisfaits. Si un client est pris au hasard, quelle est la probabilité qu'il soit insatisfait ?

Sport : victoire ou défaite ?

Une équipe a 65% de chances de gagner un match. Quelle est la probabilité qu'elle gagne au moins 3 matchs sur 5 ?

Achats en ligne : livraison rapide ou lente ?

80% des commandes sont livrées rapidement. Quelle est la probabilité qu'un client ait une livraison lente si sa commande est un cas spécial ?

Économie : dépenses mensuelles fixes ou variables ?

50% des dépenses sont fixes (300 euros) et 50% sont variables (200 euros). Quel est le coût moyen mensuel ?

Un magasin vend deux types de pommes. Quelle probabilité pour chaque type ?

Si 60 % sont bio et 40 % sont non-bio, alors :\n- P(bio) = 0,6\n- P(non-bio) = 0,4

Trois couleurs de billes dans un sac : rouge, bleu, vert.

Probabilité de choisir une bille rouge :\n- P(rouge) = $\displaystyle \frac{n_{rouge}}{n_{total}}$

Vrai ou faux : P(A) + P(B) = P(A ∩ B) ?

Faux, car P(A ∩ B) dépend de l'intersection, pas de la somme.

Si un élève obtient 70 % de bonnes réponses, quelle est la probabilité d'échec ?

P(échec) = 1 - P(réussite) = 1 - 0,7 = 0,3

Complète : P(A | B) = ...

P(A | B) = $\displaystyle \frac{P(A ∩ B)}{P(B)}$

Vous lancez un dé. Quelle est la probabilité d'obtenir un 6 ?

P(6) = $\displaystyle \frac{1}{6}$ car il y a 6 faces.

Deux événements A et B sont indépendants, quelle est P(A ∩ B) ?

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) pour des événements indépendants.

Un trajet de 10 km prend 30 minutes. Quelle est la vitesse moyenne ?

Vitesse = $\displaystyle \frac{distance}{temps} = \frac{10 ext{ km}}{0,5 ext{ h}} = 20 ext{ km/h}$

Un élève a 80 % de chances d'obtenir son bac. Quelle est la probabilité qu'il échoue ?

P(échec) = 1 - 0,8 = 0,2 ou 20 %.

Vrai ou faux : Les événements A et B sont mutuellement exclusifs.

Vrai si P(A ∩ B) = 0, ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Quel est l'impact d'une augmentation de 10 % des prix sur le chiffre d'affaires ?

Chiffre d'affaires augmente si la quantité vendue reste constante.

Un étudiant mange 5 fruits sur 7 jours. Quelle est la probabilité qu'il mange un fruit ?

P(manger un fruit) = $\displaystyle \frac{5}{7}$

Si une pizza a 4 parts et que 3 sont mangées, quelle est la probabilité d'en avoir une ?

P(part restante) = $\displaystyle \frac{1}{4}$

Quel est le risque de perte d'un emploi dans une entreprise ?

Risque = P(perte d'emploi) × nombre d'employés concernés.

Complète : P(A ∪ B) = ...

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Si la température est de 30°C, quelle est la probabilité qu'il pleuve ?

Cela dépend des conditions météorologiques, pas seulement de la température.

Un loyer de 800 € avec une augmentation de 5 %. Quel sera le nouveau loyer ?

Nouveau loyer = 800 € + (0,05 × 800 €) = 840 €

Un trajet en voiture prend 1 heure. Quelle est la probabilité d'arriver à l'heure ?

Cela dépend du trafic, mais si la moyenne est de 90 %, P(arriver à l'heure) = 0,9.

Vrai ou faux : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) si A et B sont indépendants ?

Faux. Pour les événements indépendants, on a : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Probabilité d'un événement A sachant B : P(A | B) = ?

P(A | B) = \\frac{P(A ∩ B)}{P(B)}. Exemple : Si P(A ∩ B) = 0,3 et P(B) = 0,5, alors P(A | B) = 0,6.

Calculer la probabilité totale nécessite...

d'identifier tous les cas possibles et leurs probabilités respectives.

Vrai ou Faux: La probabilité totale est la somme des probabilités.

Vrai. On additionne les probabilités des événements disjoints.

Situation: Magasin vend des pommes et des poires.

Pomme: 60% chance d'achat. Poire: 40%. Probabilité totale = 1.

Complétez: P(A) + P(B) = ...

... 1 pour événements A et B disjoints.

Exemple de formule: P(Total) = ...

$\displaystyle P(Total) = P(A) imes P(B|A) + P(B) imes P(A|B)$

Comparaison: Probabilité conditionnelle vs totale.

Conditionnelle: P(A|B), Totale: P(Total) en tenant compte de tous les cas.

Calculer une probabilité avec un événement complémentaire.

Si P(A) = 0.7, alors P(A') = 1 - 0.7 = 0.3.

Stratégie: Décomposer un problème complexe en...

... événements simples et utiliser la formule de probabilité totale.

Événements indépendants: Probabilité de A et B?

$\displaystyle P(A ext{ et } B) = P(A) imes P(B)$

Exemple pratique: Trajet en voiture sous la pluie.

Probabilité de pluie = 30%. Temps de trajet avec pluie = 40 minutes. Sans pluie = 30 minutes.

Utiliser un arbre de décision pour ...

... visualiser les différents résultats et leur probabilité.

Vrai ou Faux: Tous les événements sont indépendants.

Faux. Certains événements influencent d'autres.

Situation: Loyer avec 2 types de logements.

Type A: 70% probabilité, Type B: 30%. Calculez le loyer moyen.

Complétez: Pour P(A|B) = ...

... \frac{P(A ext{ et } B)}{P(B)}.

Exemple avec 3 couleurs de billes.

Rouge: 50%, Vert: 30%, Bleu: 20%. P(Total) = 1.

Stratégie de calcul: Vérifiez si les événements sont ...

... disjoints ou non avant d'additionner les probabilités.

Utiliser des pourcentages pour calculer.

Ex: 20% de 200€ = 40€. Cela aide dans les décisions financières.

Vrai ou Faux: Les probabilités peuvent être négatives.

Faux. Les probabilités sont toujours entre 0 et 1.

Comparaison: Probabilité marginale vs totale.

Marginale: P(A), Totale: Inclut d'autres événements.

Stratégie de calcul pour P(Total) ?

Utiliser la formule des probabilités totales : P(Total) = P(A) * P(B|A) + P(B) * P(A|B) Décomposez les événements en événements simples pour faciliter le calcul.