Matura matematyka – Trygonometria – sinus i cosinus

Sinus kąta α

Definiowany jako stosunek długości przeciwległej do długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.

Cosinus kąta α

Definiowany jako stosunek długości przyległej do długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.

Równanie $\displaystyle sin^2(α) + cos^2(α)$

Zawsze wynosi 1. Tożsamość Pitagorejska w trygonometrii.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle sin(90°) = 1$

Prawda, ponieważ sinus kąta 90° osiąga maksimum.

Zastosowanie funkcji sinus

Używana w obliczeniach związanych z falami, ruchem harmonicznym oraz w geometrii.

Zastosowanie funkcji cosinus

Stosowana w obliczeniach długości boków w trójkątach oraz w analizie drgań.

Różnica między sinus a cosinus

Sinus odnosi się do przeciwległej, cosinus do przyległej w trójkącie prostokątnym.

Uzupełnij zdanie: \displaystyle sin(α + β) = ___

$\displaystyle sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)$

Uzupełnij zdanie: \displaystyle cos(α + β) = ___

$\displaystyle cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)$

Obszar zastosowania funkcji trygonometrycznych

Fizyka, inżynieria, geometria oraz astronomia.

Co to jest kąt prosty?

Kąt o miarze 90°, kluczowy w definicjach funkcji trygonometrycznych.

Sinus kąta w I ćwiartce

Jest zawsze dodatni, przyjmuje wartości od 0 do 1.

Cosinus kąta w I ćwiartce

Jest zawsze dodatni, przyjmuje wartości od 0 do 1.

Sinus kąta w II ćwiartce

Jest dodatni, przyjmuje wartości od 0 do 1, natomiast cosinus jest ujemny.

Cosinus kąta w II ćwiartce

Jest zawsze ujemny, przyjmuje wartości od -1 do 0.

Sinus kąta w III ćwiartce

Jest zawsze ujemny, przyjmuje wartości od -1 do 0.

Cosinus kąta w III ćwiartce

Jest również ujemny, przyjmuje wartości od -1 do 0.

Sinus kąta w IV ćwiartce

Jest ujemny, a cosinus jest dodatni.

Cosinus kąta w IV ćwiartce

Jest dodatni, przyjmuje wartości od 0 do 1.

Okres funkcji sinus

Wynosi $\displaystyle 360°$ (lub $\displaystyle 2π$ radianów), co oznacza cykliczność.

Okres funkcji cosinus

Również wynosi $\displaystyle 360°$ (lub $\displaystyle 2π$ radianów).

Uzupełnij zdanie: \displaystyle sin(α) = ___ dla $\displaystyle α = 180°$

0, ponieważ sinus kąta prostego wynosi 0.

Uzupełnij zdanie: \displaystyle cos(α) = ___ dla $\displaystyle α = 90°$

0, ponieważ cosinus kąta prostego wynosi 0.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle sin(180°) = 1$

Fałsz, ponieważ $\displaystyle sin(180°) = 0$.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle cos(270°) = 0$

Prawda, ponieważ $\displaystyle cos(270°)$ wynosi 0.

Różnica między sinusem a cosinusem

Sinus jest funkcją oddaną, cosinus jest funkcją parzystą.

Co to jest kąt w pełnym obrocie?

Kąt o mierze $\displaystyle 360°$, pełny cykl dla funkcji trygonometrycznych.

Zastosowanie w programowaniu

Funkcje sinus i cosinus wykorzystywane są w obliczeniach grafiki komputerowej.

Co to jest wykres funkcji sinus?

Funkcja sinus przedstawia się w postaci fali sinusoidalnej.

Co to jest wykres funkcji cosinus?

Funkcja cosinus również przedstawia się w postaci fali sinusoidalnej, przesuniętej o 90°.

Uzupełnij zdanie: \displaystyle tan(α) = ___

$\displaystyle \frac{sin(α)}{cos(α)}$

Definicja tangensa

Stosunek sinusa do cosinusa: $\displaystyle tan(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)}$.

Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych

Można to zrobić przy użyciu kalkulatorów lub tabel trygonometrycznych.

Związek między kątami

Związki takie jak $\displaystyle sin(180° - α) = sin(α)$.

Uzupełnij zdanie: \displaystyle cos(180° - α) = ___

-cos(α), ponieważ cosinus jest funkcją parzystą.