Matura matematyka – Tożsamości trygonometryczne

Tożsamość Pitagorejska

Relacja $\displaystyle an^2 heta + 1 = \frac{1}{ ext{cos}^2 heta}$.

Sinus i cosinus

Dla kąta $\displaystyle heta$: $\displaystyle ext{sin}^2 heta + ext{cos}^2 heta = 1$.

Tożsamości dla sumy kątów

Dla kątów $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$: - $\displaystyle ext{sin}(a + b) = ext{sin} a ext{cos} b + ext{cos} a ext{sin} b$ - $\displaystyle ext{cos}(a + b) = ext{cos} a ext{cos} b - ext{sin} a ext{sin} b$

Równanie dla tangensa

$\displaystyle an(a + b) = \frac{ an a + an b}{1 - an a an b}$.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle ext{sin}(-x) = - ext{sin} x$

Prawda, ponieważ funkcja sinus jest nieparzysta.

Tożsamości dla różnicy kątów

Dla kątów $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$: - $\displaystyle ext{sin}(a - b) = ext{sin} a ext{cos} b - ext{cos} a ext{sin} b$ - $\displaystyle ext{cos}(a - b) = ext{cos} a ext{cos} b + ext{sin} a ext{sin} b$

Różnica między sinusem a tangensem

Sinus to stosunek przeciwległej do przeciwprostokątnej, natomiast tangens to stosunek przeciwległej do przyległej.

Uzupełnij zdanie: \displaystyle an heta = \frac{____}{____}

$\displaystyle an heta = \frac{ ext{sin} heta}{ ext{cos} heta}$.

Tożsamości podwójnego kąta

$\displaystyle ext{sin}(2 heta) = 2 ext{sin} heta ext{cos} heta$ oraz $\displaystyle ext{cos}(2 heta) = ext{cos}^2 heta - ext{sin}^2 heta$.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle ext{cos}(-x) = ext{cos} x$

Prawda, ponieważ funkcja cosinus jest parzysta.

Tożsamości dla kątów 30° i 45°

$\displaystyle ext{sin} 30° = \frac{1}{2}$, $\displaystyle ext{cos} 30° = \frac{ ext{sqrt}(3)}{2}$, $\displaystyle ext{sin} 45° = \frac{ ext{sqrt}(2)}{2}$.

Pytanie: Jakie są wartości $\displaystyle ext{sin}$ i $\displaystyle ext{cos}$ dla 0°?

$\displaystyle ext{sin} 0° = 0$, $\displaystyle ext{cos} 0° = 1$.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle an 90°$ jest zdefiniowane

Fałsz, ponieważ $\displaystyle an 90°$ jest nieokreślone.

Uzupełnij zdanie: \displaystyle ext{sin}(180° - x) = ____

$\displaystyle ext{sin}(180° - x) = ext{sin} x$.

Tożsamość dla cotangensa

$\displaystyle ext{cot} heta = \frac{1}{ an heta}$.

Uzupełnij zdanie: \displaystyle ext{cos}(90° - x) = ____

$\displaystyle ext{cos}(90° - x) = ext{sin} x$.

Zastosowanie: Obliczanie kątów

Tożsamości trygonometryczne pozwalają na obliczanie kątów w trójkątach.

Pytanie: Jakie zastosowanie ma $\displaystyle ext{sin} 2 heta$?

Pomaga w obliczeniach związanych z kątami podwójnymi w geometrii.

Porównanie: $\displaystyle ext{cot} heta$ vs $\displaystyle an heta$

$\displaystyle ext{cot} heta = \frac{1}{ an heta}$, więc są odwrotnościami.

Prawda czy fałsz: Tożsamości ułatwiają rozwiązywanie równań

Prawda, umożliwiają uproszczenie złożonych równań trygonometrycznych.

Pytanie: Jakie jest znaczenie funkcji trygonometrycznych?

Są kluczowe w analizie cykli i ruchów okresowych.

Uzupełnij zdanie: W geometrii analitycznej, funkcje trygonometryczne służą do ____

Opisania relacji między kątami a długościami boków.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle an$ jest zawsze dodatnie

Fałsz, ponieważ $\displaystyle an$ może przyjmować wartości ujemne w określonych ćwiartkach.

Zastosowanie: W inżynierii mechanicznej

Tożsamości trygonometryczne są używane do analizy sił i ruchów obiektów.

Pytanie: Jak tożsamości wpływają na obliczenia w fizyce?

Ułatwiają modelowanie i rozwiązywanie problemów związanych z ruchami harmonicznymi.

Różnica między $\displaystyle ext{sin} x$ a $\displaystyle ext{cos} x$

$\displaystyle ext{sin} x$ opisuje wartość pionową, a $\displaystyle ext{cos} x$ poziomą w układzie współrzędnych.

Uzupełnij zdanie: Funkcja trygonometryczna jest określona na ____

Całej osi liczbowej, ale jej wartości są ograniczone do przedziału [-1, 1].

Prawda czy fałsz: $\displaystyle ext{sin}$ i $\displaystyle ext{cos}$ są funkcjami cyklicznymi

Prawda, mają okres $\displaystyle 360°$.

Pytanie: Jakie są aplikacje tożsamości w astronomii?

Służą do obliczeń dotyczących ruchu ciał niebieskich.

Uzupełnij zdanie: Aby znaleźć długość boku w trójkącie, użyjemy ____

Funkcji trygonometrycznych oraz tożsamości.

Zastosowanie: W architekturze

Tożsamości trygonometryczne pomagają przy projektowaniu budynków oraz konstrukcji.

Różnica między $\displaystyle tan$ a $\displaystyle cot$

$\displaystyle tan = \frac{opposite}{adjacent}$, $\displaystyle cot = \frac{adjacent}{opposite}$.