Kumulierte Binomialverteilung Abiturvorbereitung

Was beschreibt die kumulierte Binomialverteilung?

Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass in $\displaystyle n$ Versuchen höchstens $\displaystyle k$ Erfolge erzielt werden.

Beispiel für kumulierte Binomialverteilung im Alltag?

Ein Laden hat eine 70% Chance, dass ein Kunde kauft. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 5 Kunden höchstens 3 kaufen?

Falsch oder richtig: Kumulierte Binomialverteilung zählt nur Erfolge.

Falsch. Sie zählt sowohl Erfolge als auch Fehlschläge bis zu einem bestimmten Punkt.

Fill in the blank: In einem Test mit 10 Fragen, bei 60% Bestehenswahrscheinlichkeit, ...

... ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit, 7 oder weniger zu bestehen, entscheidend.

Vergleich: Kumulative vs. nicht-kumulative Binomialverteilung.

- Kumuliert: Wahrscheinlichkeiten bis $\displaystyle k$<br>- Nicht-kumuliert: Nur für genau $\displaystyle k$

Wie berechnet man die kumulierte Wahrscheinlichkeit?

Man summiert die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Erfolge von 0 bis $\displaystyle k$. Beispiel: $P(X eq k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}$\displaystyle für$k = 3$.

Was bedeutet $\displaystyle n$ in der Binomialverteilung?

$\displaystyle n$ steht für die Anzahl der Versuche oder Beobachtungen.

Ein Verkäufer hat 80% Abschlussquote. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass ...

... er in 4 Gesprächen mindestens 3 Geschäfte abschließt? Verwende kumulierte Binomialverteilung.

Kumulierte Wahrscheinlichkeit für $\displaystyle X ext{ bis } k=2$?

Berechne die Summe: $\displaystyle P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ für die gegebene Binomialverteilung.

Wofür wird die kumulierte Binomialverteilung verwendet?

Sie hilft, Risiken abzuschätzen, z.B. bei Bestellungen, Kundenverhalten oder Qualitätskontrolle.

Wie viele Erfolge in 5 Versuchen bei 40% Erfolgswahrscheinlichkeit?

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit für 0 bis 2 Erfolge ist oft entscheidend für Entscheidungen.

Was ist die Bedeutung der Parameter $\displaystyle p$?

$\displaystyle p$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in einem einzelnen Versuch.

Ein Laden verkauft 70% Schokolade. Wie wahrscheinlich ist 3 aus 5?

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 von 5 Käufern kaufen Schokolade: $\displaystyle P(X \geq 3) = P(3) + P(4) + P(5)$.

Wahr oder falsch: Kumulierte Binomialverteilung zählt nur Erfolge.

Wahr, sie zählt die Anzahl der Erfolge in einer bestimmten Anzahl von Versuchen.

Ein Autofahrer hat 80% Chance, rechtzeitig anzukommen. Was bei 10 Fahrten?

Berechne $\displaystyle P(X \geq 8)$, um die Wahrscheinlichkeit für mindestens 8 rechtzeitige Fahrten zu finden.

Eine Umfrage zeigt, dass 60% der Menschen lila mögen. Was ist $\displaystyle P(X \geq 4)$?

Hier sind 10 Umfrageteilnehmer. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 4 lila mögen.

Ein Lehrer gibt 5 von 10 Fragen richtig. Wie viele richtige Antworten sind nötig?

Für 4 richtige Antworten aus 5: $\displaystyle P(X \geq 4) = P(4) + P(5)$.

Fahrkarten: 70% kaufen im Voraus. Wie viele von 15?

Berechne $\displaystyle P(X \geq 10)$ für Käufer, die im Voraus buchen.

Miete: 20% zahlen verspätet. Chancen bei 6 Mietern?

Berechne $\displaystyle P(X \leq 1)$ für Mieter, die pünktlich zahlen.

Ein Produkt hat eine 90%ige Erfolgsquote. Was ist die Wahrscheinlichkeit für 8 Erfolge?

Berechne $\displaystyle P(X = 8)$ für 10 Versuche: $\displaystyle P(8) = \\binom{10}{8} \cdot (0,9)^8 \cdot (0,1)^2$.

Wahr oder falsch: Nur Erfolge werden bei der kumulierten Binomialverteilung gezählt.

Falsch, es werden sowohl Erfolge als auch Misserfolge in den Berechnungen berücksichtigt.

Ein Restaurant hat eine 75%ige Chance, dass Gäste wiederkommen. Bei 5 Gästen?

Berechne $\displaystyle P(X \geq 4)$ für die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 4 Gäste zurückkehren.

Wie viele von 12 Schülern bestehen mit 85% Bestehensquote?

Berechne $\displaystyle P(X \geq 10)$ für die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 10 Schüler bestehen.

Ein Lehrer gibt 60% der Schüler ein Lob. Was ist die Chance auf mindestens 5?

Berechne $\displaystyle P(X \geq 5)$ aus 10 Schülern, um die Wahrscheinlichkeit zu finden.