Abitur Erwartungswert Karteikarten

Was ist der Erwartungswert?

Der Erwartungswert ist der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen.

Berechne den Erwartungswert: 2, 3, 5 mit Wahrscheinlichkeiten 0.2, 0.5, 0.3.

E = 2*0.2 + 3*0.5 + 5*0.3 = 3.4

Erwartungswert eines Würfels.

Der Erwartungswert eines fairen Würfels ist E = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5.

Formel für den Erwartungswert.

E(X) = ext{Summe}(x_i imes p_i), ext{wobei } x_i ext{ die Werte sind und } p_i ext{ die Wahrscheinlichkeiten.}

Beispiel für Erwartungswert in einem Laden.

Wenn ein Kunde 5 Euro, 10 Euro oder 15 Euro mit Wahrscheinlichkeiten 0.1, 0.6, 0.3 ausgibt, ist E = 5*0.1 + 10*0.6 + 15*0.3 = 11 Euro.

True or False: E(X) ist immer größer als die meisten Werte von X.

False. Der Erwartungswert kann auch kleiner oder gleich den meisten Werten sein.

Vergleich: Varianz vs. Erwartungswert.

Erwartungswert gibt den Mittelwert an, Varianz misst die Streuung der Werte um diesen Mittelwert.

Fill in the blank: Der Erwartungswert ist 89.

Der Erwartungswert ist $\displaystyle E(X) = 489$, wobei X eine Zufallsvariable ist.

Wie wird der Erwartungswert bei stetigen Zufallsvariablen berechnet?

Für stetige Zufallsvariablen wird der Erwartungswert mit einem Integral berechnet: E(X) = $\displaystyle ext{Integral}(x imes f(x) \,dx)$.

Wie verändert sich der Erwartungswert bei Verschiebung?

Wenn eine Konstante k zu jeder Zufallsvariable X addiert wird, ändert sich der Erwartungswert um k: E(X+k) = E(X) + k.

Beispiel für Erwartungswert bei Fahrkosten.

Wenn die Fahrkosten 10 Euro mit 0.2, 15 Euro mit 0.5 und 20 Euro mit 0.3 betragen, dann E = 10*0.2 + 15*0.5 + 20*0.3 = 16.5 Euro.

Was passiert mit E(X) bei Multiplikation mit k?

Wenn eine Zufallsvariable X mit k multipliziert wird, gilt: E(kX) = kE(X).

Erwartungswert und Unabhängigkeit.

Der Erwartungswert von zwei unabhängigen Zufallsvariablen X und Y ist: E(X+Y) = E(X) + E(Y).

Erwartungswert von Zufallsvariablen mit gleichen Wahrscheinlichkeiten.

Wenn alle Werte die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, ist der Erwartungswert der arithmetische Mittelwert dieser Werte.

Wieso ist der Erwartungswert wichtig?

Der Erwartungswert hilft, eine informierte Entscheidung zu treffen, basierend auf den durchschnittlichen Ergebnissen von Zufallsprozessen.

Berechne E für 0, 10, 20 mit p=0.3, 0.4, 0.3.

E = 0*0.3 + 10*0.4 + 20*0.3 = 10 Euro.

Gibt es einen Zusammenhang zwischen Erwartungswert und Median?

Ja, der Erwartungswert ist der Durchschnitt, während der Median der zentrale Wert einer Verteilung ist.

Kumulative Verteilung und Erwartungswert.

Der Erwartungswert kann auch aus der kumulativen Verteilungsfunktion abgeleitet werden, indem man die Fläche unter der Kurve betrachtet.

Beispiel: Miete und Erwartungswert.

Wenn Mieten 500 Euro, 600 Euro und 700 Euro mit Wahrscheinlichkeiten 0.5, 0.3 und 0.2 sind: E = 500*0.5 + 600*0.3 + 700*0.2 = 580 Euro.