Scheda: Integrali aree sotto curve sperimentali

Calcola l'area sotto la retta y = 2x + 3 tra x=0 e x=2.

L'integrale da 0 a 2 è: $\displaystyle \frac{1}{2}(2x^2 + 3x) |_{0}^{2} = 12$.

Funzione lineare o quadratica: quale integra meglio?

Funzione lineare. Le lineari hanno aree calcolabili con semplici formule, mentre le quadratiche richiedono più passaggi.

Vero o falso: l'area sotto la curva è sempre positiva.

Falso. Se la funzione è negativa nell'intervallo considerato, l'area sarà negativa.

Calcola l'area sotto la curva y = x^2 da 1 a 3.

L'integrale è: $\displaystyle \frac{1}{3}x^3 |_{1}^{3} = 26/3$.

Area sotto la curva y = -x + 4 tra x=0 e x=4.

L'integrale da 0 a 4 è: $\displaystyle \frac{1}{2}(-x^2 + 4x) |_{0}^{4} = 8$.

Qual è l'integrale di y = 3 tra x=1 e x=5?

L'area è: $\displaystyle 3 imes (5 - 1) = 12$.

Calcola l'area sotto la parabola y = x^2 dalla 0 a 2.

L'integrale è: $\displaystyle \frac{1}{3}x^3 |_{0}^{2} = \frac{8}{3}$.

Funzione lineare: y = 2x + 1. Area sotto tra 0 e 3?

L'integrale è: $\displaystyle \frac{1}{2}(6) = 9$.

Cosa rappresenta l'integrale di una funzione?

L'area sotto la curva della funzione tra due punti sull'asse x.

Calcola l'area sotto y = -2x + 6 da x=1 a x=3.

L'integrale è: $\displaystyle \frac{1}{2}(2x^2 - 6x) |_{1}^{3} = 4$.

Completa: L'area sotto la curva y = x è...

... $\displaystyle \frac{1}{2} x^2$ calcolata tra gli estremi.

Area sotto la curva y = 2x^2 tra x=0 e x=2.

L'integrale è: $\displaystyle \frac{2}{3}x^3 |_{0}^{2} = \frac{16}{3}$.

Calcola l'area sotto la curva y=x^2 da 0 a 3.

L'area è $\displaystyle \frac{1}{3}(3^3) = 9$.

Una piscina ha forma curvilinea. Come calcolare l'area?

Integrare la funzione che descrive il profilo della piscina. - Determina i limiti - Applica l'integrazione

Se un'auto viaggia a 80 km/h per 2 ore, quanto spazio copre?

L'integrale della velocità. Area = 80 * 2 = 160 km.

Il costo di un affitto mensile è di 600 euro. In un anno?

Area = 600 * 12 = 7200 euro.

Vero o falso: l'integrale rappresenta sempre un'area positiva.

Falso. L'integrale può essere negativo se la funzione è sotto l'asse x.

Confronta area sotto y=x e y=2x.

y=x ha area $\displaystyle \frac{1}{2}x^2$, y=2x ha area $\displaystyle x^2$. - y=2x è doppia.

Calcola l'area sotto la curva y=3x tra x=1 e x=4.

Area = $\displaystyle \frac{3}{2}(4^2 - 1^2) = \frac{3}{2}(16 - 1) = 22.5$.

Il massimo stipendio annuo è 30.000 euro. In 5 anni?

Area = 30.000 * 5 = 150.000 euro.

Se il prezzo di un prodotto aumenta linearmente, come calcolare il totale?

Integrare la funzione prezzo rispetto alla quantità. - Definisci i limiti - Esegui l'integrazione

Qual è l'area sotto y=sin(x) da 0 a π?

Area = 2, calcolato con $\displaystyle \frac{-cos(x)}{0}^{π} = 2$.

Se un viaggio costa 100 euro per 200 km, quanto costa 350 km?

Costo = $\displaystyle \frac{100}{200} * 350 = 175$ euro.

Calcola l'area tra le curve y=x e y=2x da 0 a 1.

Area = $\displaystyle \frac{1}{2} * (1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}$.

Metodo dei trapezi

Consiste nel suddividere l'area in trapezi. Formula: $\displaystyle A \approx \frac{h}{2}(f(a) + f(b))$.

Esempio con metodo dei trapezi

Calcola l'area sotto $\displaystyle y = x^2$ da $\displaystyle x=0$ a $\displaystyle x=2$ usando 2 trapezi. Aprossimazione: $\displaystyle \frac{2}{2}(f(0)+f(2)) + \frac{h}{2}(f(0)+f(1))$.

Vero o Falso: Simpson è più preciso del trapezio.

Vero. Simpson utilizza polinomi di secondo grado per stimare l'area e fornisce risultati più accurati.

Metodo di Simpson

Approssima l'area sotto la curva usando parabole. Formula: $\displaystyle A \approx \frac{h}{3}(f(a) + 4f(m) + f(b))$.

Definizione di h in integrazione numerica

h è la larghezza degli intervalli. Maggiore è h, minore è la precisione dell'approssimazione.

Confronto: Metodo dei trapezi vs. Simpson

- Trapezi: semplice, meno preciso. - Simpson: più complesso, più preciso.

Fill the blank: $\displaystyle A \approx \frac{h}{2}(f(a) + f(b))$ è il metodo dei ___

trapezi.

Esempio applicativo: area sotto $\displaystyle y=x$

Usa 4 intervalli da $\displaystyle 0$ a $\displaystyle 1$. Applicazione del metodo dei trapezi: $\displaystyle A \approx \frac{1}{4}(f(0)+f(1)+f(0.25)+f(0.5)+f(0.75))$.

Causa → Effetto: Aumentare il numero di intervalli

Maggiore precisione nell'approssimazione dell'area, ma anche maggiore calcolo richiesto.

Esempio metodo di Simpson

Calcola l'area sotto $\displaystyle y = x^3$ da $\displaystyle x=0$ a $\displaystyle x=1$. Usa $\displaystyle n=2$. $\displaystyle A \approx \frac{1}{3}(f(0) + 4f(0.5) + f(1))$.

Vero o Falso: La somma di Riemann è un metodo di integrazione numerica.

Vero. È un approccio per approssimare l'area sotto la curva usando rettangoli.

Metodo dei rettangoli

Dividi l'area in rettangoli. Formula: $\displaystyle A \approx \sum f(x_i) \cdot h$ per intervalli definiti.