Matura matematyka – Suma ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny

To ciąg liczb, w którym każdy wyraz jest iloczynem poprzedniego przez stałą, zwaną ilorazem.

Iloraz ciągu geometrycznego

Iloraz $\displaystyle q$ to stosunek dwóch kolejnych wyrazów: $\displaystyle q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}$.

Wzór na $\displaystyle n$-ty wyraz ciągu

Dla ciągu geometrycznego: $\displaystyle a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

Suma $\displaystyle n$ wyrazów ciągu geometrycznego

Suma jest obliczana jako: $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}$ dla $\displaystyle q \neq 1$.

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego

Dla $\displaystyle |q| < 1$: $\displaystyle S = \\frac{a_1}{1 - q}$.

Prawda czy fałsz: Suma $\displaystyle n$ wyrazów jest zawsze dodatnia.

Fałsz, ponieważ suma może być ujemna, jeśli $\displaystyle a_1$ i $\displaystyle q$ mają różne znaki.

Różnica między ciągiem arytmetycznym a geometrycznym

Ciąg arytmetyczny dodaje stałą wartość, a geometryczny mnoży przez stałą wartość.

Uzupełnij zdanie: W ciągu geometrycznym, \displaystyle a_2 = ___

$\displaystyle a_2 = a_1 \cdot q$.

Wzór na sumę ciągu geometrycznego z $\displaystyle q > 1$

Suma: $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \\frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Zastosowanie ciągu geometrycznego

Stosowany w finansach, takich jak obliczanie wartości przyszłej inwestycji.

Przykład ciągu geometrycznego

Ciąg $\displaystyle 2, 6, 18, 54, ...$ z ilorazem $\displaystyle q=3$.

Wartość $\displaystyle q$ w ciągu $\displaystyle 5, 15, 45$

Iloraz $\displaystyle q = 3$.

Suma 4 wyrazów ciągu geometrycznego

Oblicz $\displaystyle S_4 = a_1 \cdot \\frac{1 - q^4}{1 - q}$.

Prawda czy fałsz: W ciągu geometrycznym każdy wyraz jest większy od poprzedniego.

Fałsz, ponieważ to zależy od wartości ilorazu $\displaystyle q$.

Oblicz $\displaystyle S_3$ dla $\displaystyle a_1 = 2, q = 2$

Suma: $\displaystyle S_3 = 2 \cdot \\frac{1 - 2^3}{1 - 2} = 14$.

Suma 5 wyrazów dla $\displaystyle a_1 = 3, q = 1/2$

$\displaystyle S_5 = 3 \cdot \\frac{1 - (1/2)^5}{1 - 1/2} = 6.75$.

Przykład z zastosowaniem w finansach

Kapitał rośnie co roku o 5%, ciąg geometryczny opisuje wzrost wartości kapitału.

Suma $\displaystyle n$ wyrazów, gdy $\displaystyle q = 1$

Dla $\displaystyle q = 1$: $\displaystyle S_n = n \cdot a_1$.

Uzupełnij: W ciągu $\displaystyle 1, 4, 16$, iloraz wynosi ___

$\displaystyle q = 4$.

Oblicz $\displaystyle S_2$ dla $\displaystyle a_1 = 4, q = 3$

$\displaystyle S_2 = 4 \cdot \\frac{1 - 3^2}{1 - 3} = 12$.

Prawda czy fałsz: Suma wyrazów ciągu nie jest zmienna.

Fałsz, suma zmienia się w zależności od $\displaystyle n$ i $\displaystyle q$.

Suma $\displaystyle S_n$ dla $\displaystyle a_1 = 100, q = 0.5$

$\displaystyle S_n = 100 \cdot \\frac{1 - 0.5^n}{1 - 0.5}$.

Oblicz $\displaystyle S_4$ dla $\displaystyle a_1 = 1, q = 3$

$\displaystyle S_4 = 1 \cdot \\frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 40$.

Wzór na sumę dla $\displaystyle q < 1$

$\displaystyle S = \\frac{a_1}{1 - q}$, dla $\displaystyle |q| < 1$.

Uzupełnij: Mnożenie przez $\displaystyle q$ powoduje ___ wyrazu.

Zmianę wartości wyrazu w ciągu geometrycznym.

Przykład obliczeń: $\displaystyle S_3$ dla $\displaystyle a_1 = 2, q = 3$

$\displaystyle S_3 = 2 \cdot \\frac{1 - 3^3}{1 - 3} = 40$.

Różnica między sumą dla $\displaystyle q < 1$ a $\displaystyle q > 1$

Dla $\displaystyle q < 1$ suma jest ograniczona, dla $\displaystyle q > 1$ rośnie bez ograniczeń.

Oblicz sumę $\displaystyle n$ wyrazów dla $\displaystyle a_1 = 5, q = 2$

$\displaystyle S_n = 5 \cdot \\frac{1 - 2^n}{1 - 2}$.