Matura matematyka – Ciągi geometryczne

Ciąg geometryczny

Ciąg liczb, w którym każdy wyraz (oprócz pierwszego) powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą, zwaną ilorazem.

Iloraz ciągu geometrycznego

Stala $\displaystyle q = \\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$, gdzie $\displaystyle a_n$ to n-ty wyraz ciągu oraz $\displaystyle a_{n-1}$ to wyraz poprzedni.

Wzór na n-ty wyraz

N-ty wyraz ciągu geometrycznego obliczamy jako $\displaystyle a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

Suma pierwszych n wyrazów

Suma $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}$, dla $\displaystyle q \neq 1$.

Ciąg malejący

Ciąg geometryczny, w którym $\displaystyle q < 1$, co oznacza, że każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.

Ciąg rosnący

Ciąg geometryczny, gdzie $\displaystyle q > 1$, co oznacza, że każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego.

Zależność między ciągami

Ciąg geometryczny może być szczególnym przypadkiem ciągu arytmetycznego, gdy logarytm wyrazów jest arytmetyczny.

Prawda czy fałsz: Suma nieskończonego ciągu geometrycznego

Prawda, dla $\displaystyle |q| < 1$, suma wynosi $\displaystyle S = \\frac{a_1}{1 - q}$.

Ciąg geometryczny w zastosowaniach

Wykorzystywany w modelowaniu zjawisk wzrostu i spadku, takich jak oprocentowanie, populacja, itp.

Uzupełnij zdanie: Wartość ilorazu...

...w ciągu geometrycznym określa, czy ciąg jest rosnący, malejący czy stały.

Przykład ciągu geometrycznego

Ciąg $\displaystyle 2, 6, 18, 54, \ldots$ o ilorazie $\displaystyle q = 3$.

Zastosowanie w finansach

Ciągi geometryczne modelują kapitalizację odsetek w czasie, gdzie każdy rok przynosi stały procent zysku.

Różnica między ciągiem arytmetycznym a geometrycznym

W ciągu arytmetycznym dodajemy stałą wartość, w geometrycznym - mnożymy przez stałą.

Czy ciąg o ilorazie równym 1 jest geometryczny?

Tak, ponieważ każdy wyraz jest równy poprzedniemu.

Przykład sumy ciągu

Suma $\displaystyle S_3$ dla ciągu $\displaystyle 2, 6, 18$: $\displaystyle S_3 = 2 + 6 + 18 = 26$.

Prawda czy fałsz: Wszystkie ciągi rosnące są geometryczne

Fałsz, ponieważ ciąg arytmetyczny również może być rosnący.

Ciąg geometryczny a funkcje

Można go opisać jako funkcję eksponencjalną, np. $\displaystyle f(x) = a \cdot q^x$.

Uzupełnij zdanie: Dla $\displaystyle q < 1$, suma...

...nieskończonego ciągu geometrycznego zbiega do wartości końcowej.

Ile wynosi 5-ty wyraz ciągu $\displaystyle a_1 = 3$, $\displaystyle q = 2$?

Obliczamy: $\displaystyle a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 48$.

Wzór na sumę nieskończonego ciągu

Suma $\displaystyle S = \\frac{a_1}{1 - q}$, dla $\displaystyle |q| < 1$.