Equazioni di secondo grado problemi maturità

Come risolvere l'equazione x² - 5x + 6 = 0?

Fattorizzando: (x - 2)(x - 3) = 0. Quindi, x = 2 o x = 3.

Qual è il discriminante di x² + 4x + 4?

Il discriminante è 0, quindi l'equazione ha una doppia soluzione: x = -2.

x² + 6x + 9 = 0 è vero o falso?

Vero! È un quadrato perfetto: (x + 3)² = 0.

Quali sono le soluzioni di x² - 4 = 0?

x = 2 e x = -2, usando la regola delle radici.

Completa: x² + bx + c = 0, b = 0 → ...

Le soluzioni sono x = √c e x = -√c.

Esempio di problema: prezzo affitto mensile?

Se l'affitto è aumentato del 10%, e prima era 500€, ora è 550€.

Confronta: x² = 25 vs. x² - 25 = 0.

x² = 25 → x = ±5; x² - 25 = 0 → le stesse soluzioni.

Risolvere: 3x² + 12x = 0.

Fattorizzando: 3x(x + 4) = 0 → x = 0 o x = -4.

Causa: discriminante positivo → ...

...due soluzioni reali e distinte.

Problema: velocità in viaggio.

Se percorri 150 km in 2 ore, la velocità è 75 km/h.

Falso o vero: x² + 6x + 9 = 0 ha soluzioni diverse.

Falso! Ha una doppia soluzione: x = -3.

x² + 3x - 4 = 0, soluzioni?

Usa la formula quadratica: x = 1 o x = -4.

Esempio di problema reale: affitto mensile.

Un affitto mensile di 600€ può essere descritto da un'equazione di secondo grado se si considerano aumenti annuali. Se dopo un anno l'affitto sale a 720€, qual è l'aumento percentuale?

Qual è il discriminante di: $\displaystyle x^2 - 4x + 3 = 0$?

Il discriminante è $\displaystyle D = (-4)^2 - 4 imes 1 imes 3 = 4$. Quindi due soluzioni distinte.

Vero o falso: $\displaystyle x^2 + 2x + 1 = 0$ ha soluzioni uguali.

Vero, perché il discriminante è $\displaystyle D = 0$. Le soluzioni sono $\displaystyle x = -1$.

Riempire il vuoto: \displaystyle x^2 - 6x + ___ = 0 ha soluzioni uguali.

Il numero da inserire è 9. $\displaystyle D = 0$ se il termine noto è $\displaystyle 9$.

Esempio di problema di viaggio.

Se un'auto parte da 0 km/h e accelera di 5 km/h ogni ora, l'equazione $\displaystyle d = 5t^2$ rappresenta la distanza in km dopo $\displaystyle t$ ore.

Qual è la forma generale di un'equazione di secondo grado?

La forma generale è $\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$ con $a eq 0$\displaystyle . Esempio:$2x^2 - 3x + 1 = 0$.

Confronto tra soluzioni reali e complesse.

Se $\displaystyle D > 0$, due soluzioni reali. Se $\displaystyle D = 0$, una soluzione reale. Se $\displaystyle D < 0$, due soluzioni complesse.

Domanda: come risolvere $\displaystyle 2x^2 - 8 = 0$?

Semplifica: $\displaystyle x^2 - 4 = 0$. Soluzioni: $\displaystyle x = 2$ e $\displaystyle x = -2$.

Esempio di problema stipendio.

Un lavoratore guadagna 2000€ al mese, ma riceve un aumento annuale di 5% che può essere descritto con $\displaystyle E = 2000(1 + 0.05)^t$.

Qual è l'equazione per trovare le aree di un rettangolo?

Se la lunghezza è $\displaystyle l$ e la larghezza è $\displaystyle w$, l'area è $\displaystyle A = lw$. Un aumento della lunghezza di $\displaystyle 3$ m porta all'equazione $\displaystyle A = (l+3)w$.

Domanda: che effetto ha $\displaystyle D < 0$?

Se il discriminante è negativo, l'equazione non ha soluzioni reali, ma due soluzioni complesse coniugate.

Problema concreto: costo di una gomma.

Se una gomma costa 50€ e dopo un anno il prezzo sale di 20%, l'equazione $\displaystyle P = 50(1 + 0.20)$ calcola il nuovo prezzo.