Egzamin 8-klasisty – Twierdzenie Pitagorasa – kl. 8

Twierdzenie Pitagorasa

Mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości obu przyprostokątnych: $\displaystyle c^2 = a^2 + b^2$.

Co to jest trójkąt prostokątny?

Trójkąt prostokątny to trójkąt, w którym jeden z kątów wynosi 90 stopni.

Przykład zastosowania

Oblicz długość przeciwprostokątnej: a = 3, b = 4. Użyj wzoru: $\displaystyle c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.

Uzupełnij zdanie: W trójkącie prostokątnym...

...kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.

Różnica między przyprostokątną a przeciwprostokątną

Przyprostokątne to boki przylegające do kąta prostego, natomiast przeciwprostokątna to bok naprzeciwko kąta prostego.

Jak wygląda wzór na obliczenie długości boku?

Przeciwprostokątna: $\displaystyle c = \sqrt{a^2 + b^2}$, przyprostokątna: $\displaystyle a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

Fałsz czy prawda: $\displaystyle 5^2 = 3^2 + 4^2$?

Prawda, ponieważ $\displaystyle 25 = 9 + 16$.

Co oznacza symbol $\displaystyle c$ w twierdzeniu Pitagorasa?

$\displaystyle c$ oznacza długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.

Jakie są zastosowania twierdzenia?

Używa się go w architekturze, inżynierii, nawigacji oraz do rozwiązywania problemów geometrii.

Oblicz: $\displaystyle c$ przy a = 6 i b = 8.

$\displaystyle c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.

Czym jest długość boku układanki?

To długość boku prostokątnego obszaru, w którym można zastosować twierdzenie Pitagorasa.

Prawda czy fałsz: W każdym trójkącie można użyć twierdzenia Pitagorasa.

Fałsz, ponieważ twierdzenie dotyczy tylko trójkątów prostokątnych.

Jakie są jednostki długości w geometrii?

Jednostki to metry, centymetry, milimetry, ale także jednostki imperialne, jak cale czy stopy.

Co to jest hipotenusa?

Hipotenusa to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, przeciwny kątowi prostemu.

Oblicz: Jeśli $\displaystyle c = 13$ i $\displaystyle b = 5$, to $\displaystyle a$ wynosi...

$\displaystyle a = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$.

Przykład zastosowania: Wysokość budynku.

Można obliczyć wysokość budynku za pomocą twierdzenia, znając odległość i kąt.

Co to jest długość boku trójkąta?

Długość boku trójkąta to odległość między dwoma jego wierzchołkami.

Prawda czy fałsz: Długości boków trójkąta muszą być zawsze całkowite.

Fałsz, długości mogą być liczbami wymiernymi lub niewymiernymi.

Przykład zastosowania w życiu codziennym.

Obliczanie odległości między punktami na mapie korzystając z trójkątów prostokątnych.

Jak obliczyć długość boku, gdy mamy kąt?

Można użyć funkcji trygonometrycznych, ale w przypadku pitagorejskim wystarczy $\displaystyle c$ i $\displaystyle b$.

Różnica między trójkątem równobocznym a prostokątnym

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równe, prostokątny ma kąt prosty.

Uzupełnij zdanie: $$a + b = ...$$

$$a + b = c$$ w przypadku trójkąta prostokątnego, gdzie $\displaystyle c$ to przeciwprostokątna.

Kiedy twierdzenie Pitagorasa jest przydatne?

Jest przydatne w przypadku obliczania odległości oraz budowy konstrukcji.

Jakie są przykłady trójkątów ze znanymi bokami?

Trójkąty o bokach 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17 są trójkątami pitagorejskimi.

Kiedy można użyć twierdzenia w praktyce?

Podczas obliczania rzeczywistych odległości w architekturze czy inżynierii.