Sistemi lineari modelli economici

Cosa rappresentano le variabili in un sistema lineare?

Rappresentano quantità sconosciute, come il numero di prodotti venduti e il prezzo.

Esempio di sistema lineare per un negozio.

Vendita di 3 magliette a 10€ e 2 pantaloni a 20€. Equazioni: 1. $\displaystyle 10x + 20y = ext{Entrate totali}$ 2. $\displaystyle x + y = ext{Numero totale articoli}$

Vero o falso: I sistemi lineari possono ottimizzare il prezzo di vendita.

Vero. Possono aiutare a trovare il prezzo ottimale per massimizzare i profitti.

Qual è l'effetto dell'aumento dei costi sui prezzi?

L'aumento dei costi fissi o variabili richiede un aumento dei prezzi per mantenere il margine di profitto.

Cosa si ottiene risolvendo un sistema lineare?

Si ottengono le quantità ottimali di ciascun prodotto da vendere per massimizzare i profitti.

Problema: 2 prodotti, 40€ di budget. Costo prodotto A: 10€, B: 15€. Soluzione?

Sistema: 1. $\displaystyle 10x + 15y = 40$ 2. $\displaystyle x + y ext{ (numero articoli)}$ Esempio: 2 A e 2 B superano il budget.

Confronta costi fissi e variabili.

Costi fissi: non cambiano con la produzione. Costi variabili: cambiano con la produzione (es. materiale).

Cosa significa 'punto di equilibrio'?

È il punto in cui entrate e costi si eguagliano, senza guadagno né perdita.

Esempio di modello di costo per un negozio.

Costi totali = Costi fissi + Costi variabili * Quantità. Se costi fissi = 200€ e costi variabili = 5€, per 50 articoli: $\displaystyle 200 + 5*50 = 200 + 250 = 450€.$

Vero o falso: Un sistema lineare può avere più di una soluzione.

Falso. Un sistema lineare ha al massimo una soluzione unica o infinite soluzioni in casi particolari.

Come si rappresentano graficamente i sistemi lineari?

Si rappresentano come linee in un piano cartesiano. L'intersezione indica la soluzione del sistema.

Qual è la formula per calcolare il profitto?

Profitto = Entrate - Costi totali. Esempio: Entrate = 800€, Costi totali = 600€. Profitto = 800 - 600 = 200€.

Cosa implica un incremento percentuale delle vendite?

Può aumentare le entrate, ma anche i costi variabili se la produzione aumenta.

Esempio di sistema lineare per promozioni.

Se A = sconto su prodotto X, B = sconto su prodotto Y: $\displaystyle A + B = sconto massimo$. Se sconto massimo è 30%, come distribuire?

Cosa sono i vincoli in un sistema lineare?

I vincoli sono le limitazioni, come budget o quantità massime di produzione.

Qual è l'obiettivo principale nella gestione dei costi?

Minimizzare i costi per massimizzare i profitti, usando sistemi lineari per ottimizzare le decisioni.

Esempio di equazione per calcolare il costo di un'unità.

Costo unitario = $\displaystyle \frac{Costi totali}{Quantità prodotta}$. Se costi totali = 400€ e quantità = 100, Costo unitario = $\displaystyle \frac{400}{100} = 4€.$

Cosa rappresenta l'asse delle ordinate?

Può rappresentare i costi nel grafo di un sistema lineare. Essenziale per l'analisi visiva.

Cosa accade se il prezzo aumenta?

Potrebbe ridurre la domanda, influenzando il sistema e le quantità vendute.

Calcola il prezzo di vendita ottimale.

Se un negozio ha un costo totale di 150€ e desidera un profitto del 20%, il prezzo di vendita ottimale sarà: Prezzo = Costo Totale + Profitto = 150€ + (0.20 imes 150€) = 180€.

Calcola costo viaggio: 200 km a 0,15€/km?

Costo totale: $\displaystyle 200 imes 0,15 = 30€$.

Vero o falso: Un sistema lineare ha sempre una soluzione.

Falso. Può avere nessuna, una o infinite soluzioni.

Cosa rappresenta la matrice dei coefficienti?

Rappresenta i coefficienti delle incognite nel sistema lineare.

Due treni partono contemporaneamente. Distanze: 100 km e 150 km.

Se i treni viaggiano a 50 km/h e 75 km/h: - Treno 1: $\displaystyle t_1 = \frac{100}{50} = 2$ ore. - Treno 2: $\displaystyle t_2 = \frac{150}{75} = 2$ ore.

Calcola tempo percorrenza: 300 km a 60 km/h?

Tempo: $\displaystyle t = \frac{300}{60} = 5$ ore.

Sistema lineare: 2x + 3y = 6; x - y = 1.

Soluzione: $\displaystyle (x, y) = (3, 0)$.

Qual è il costo totale per 5 viaggi a 2,50€ ciascuno?

Costo totale: $\displaystyle 5 imes 2,50 = 12,50€$.

Verifica: Ritorno da un viaggio di 400 km a 80 km/h.

Tempo di ritorno: $\displaystyle t = \frac{400}{80} = 5$ ore.

Indicazione: Cosa determina la pendenza di una retta?

La pendenza rappresenta la velocità di cambiamento, ad esempio costo per chilometro.

Due percorsi: 120 km e 180 km, velocità 60 km/h e 90 km/h.

Calcola i tempi: - Percorso 1: $\displaystyle t_1 = \frac{120}{60} = 2$ ore. - Percorso 2: $\displaystyle t_2 = \frac{180}{90} = 2$ ore.

Vero o falso: Un sistema con due incognite ha sempre 2 equazioni.

Vero. Necessarie per determinare la soluzione.

Calcola costo trasporto: 450 km a 0,10€/km.

Costo: $\displaystyle 450 imes 0,10 = 45€$.

Cosa indica il termine 'intersezione' in un sistema lineare?

L'intersezione indica il punto in cui due linee si incontrano, ossia la soluzione.

Problema: Viaggio a 80 km/h, quanto tempo per 240 km?

Tempo: $\displaystyle t = \frac{240}{80} = 3$ ore.

Due veicoli partono da due città a 50 km/h e 70 km/h.

Distanza totale: $\displaystyle d = 50t + 70t = 120t$.

Calcola costo totale per 3 viaggi a 5€ ciascuno.

Costo totale: $\displaystyle 3 imes 5 = 15€$.

Esempio: due linee, $\displaystyle y = 2x + 1$ e $\displaystyle y = -x + 3$. Risolvi.

Intersezione: $\displaystyle 2x + 1 = -x + 3 ightarrow 3x = 2 ightarrow x = \frac{2}{3}, y = 2 imes \frac{2}{3} + 1 = \frac{7}{3}$.

Qual è il costo di un viaggio di 150 km a 0,20€/km?

Costo: $\displaystyle 150 imes 0,20 = 30€$.

Due autovetture viaggiando a velocità diverse.

Confronto: - Auto A: 60 km/h - Auto B: 80 km/h Auto B recupera 20 km ogni ora.

Due mezzi di trasporto partono insieme.

Un autobus percorre 90 km a 30 km/h, un treno 120 km a 60 km/h. Tempo di percorrenza autobus: 3 ore, treno: 2 ore. Sistema lineare: 1. $\displaystyle t_a = \frac{90}{30} = 3$ 2. $\displaystyle t_t = \frac{120}{60} = 2$ Confronto: il treno arriva prima.

Affitto mensile: 800€

Se hai 3 appartamenti, spesa totale: $\displaystyle 800 imes 3 = 2400€.$

Spese fisse e variabili

Spese fisse: affitto, bollette. Spese variabili: cibo, trasporti.

Sistemi lineari e budget

Utilizziamo sistemi lineari per pianificare il budget mensile. Esempio: $\displaystyle x + y = 2000€$, dove $\displaystyle x$ è affitto e $\displaystyle y$ altre spese.

Verifica: affitto e spese

Se affitti e spese mensili sono $\displaystyle x$ e $\displaystyle y$, allora $\displaystyle x + y = spesa totale$.

Affitto e stipendio: vero o falso?

Vero. È importante considerare che l'affitto non superi il 30% dello stipendio.

Esempio di sistema lineare

Affitto = 600€, spese = 400€. Risolvi: $\displaystyle x + y = 1000€.$

Proporzione affitto-stipendio

Se stipendio è 2000€, affitto massimo consigliato: $\displaystyle 2000 imes 0.30 = 600€.$

Sistemi lineari: 2 appartamenti

Se affitto 2 appartamenti a 700€: $\displaystyle 2x = 1400€.$

Riempire il vuoto: Affitto + Spese = ...

... 1000€. ($\displaystyle x + y = 1000€)$

Differenza: affitto e bollette

Affitto è una spesa fissa, mentre bollette possono variare mensilmente.

Costo totale mensile

Se affitto è 800€ e spese varie 300€, costo totale: $\displaystyle 800 + 300 = 1100€.$

Aumento affitto: 10%

Affitto attuale 600€, nuovo affitto: $\displaystyle 600 + (600 imes 0.10) = 660€.$

Sistemi lineari: unione spese

Se affitto è 500€ e spese 200€, unisci: $\displaystyle x + y = 700€.$

Falso: affitto non è importante

Falso. Affitto rappresenta una porzione significativa delle spese mensili.

Esempio di spesa totale

Affitto 600€, bollette 150€, cibo 250€. Totale: $\displaystyle 600 + 150 + 250 = 1000€.$

Affitto: cosa considerare?

Considera la location, i servizi inclusi e le spese accessorie.

Calcolo spese affitto e risparmi

Se affitti a 700€ e vuoi risparmiare 300€, spese massime: $\displaystyle 1000 - 300 = 700€.$

Vero o falso: affitto fisso

Vero. Affitto spesso resta costante per contratti di un anno.

Esempio di sistema con due incognite

Affitto: $\displaystyle x$, spese: $\displaystyle y$. $\displaystyle x + y = 1200€$.

Sistema lineare affitto e spese mensili: esempio?

$\displaystyle x$ = affitto mensile, $\displaystyle y$ = spese mensili.\nSe $\displaystyle x = 800€$, $\displaystyle y = 200€$, \nallora: \n$\displaystyle 800 + 200 = 1000€$ (spesa totale).\nGestione semplice per controllare il budget.

Calcolo delle ore lavorative.

Se un lavoratore guadagna 1500€ per 160 ore, l'ora vale 9,375€.

Sistemare stipendi e ore.

Sia $\displaystyle x$ ore settimanali, $\displaystyle y$ stipendio. Sistema: $\displaystyle y = 9,5x + 1000$.

Lavoratore A vs Lavoratore B.

A guadagna 1200€ per 140 ore, B 1500€ per 160 ore. A: 8,57€/h, B: 9,375€/h.

Se un lavoratore fa straordinari...

Le ore straordinarie sono pagate il 25% in più. Se guadagna 12€/h, straordinario è 15€/h.

Formula stipendio base.

Stipendio = ore lavorate * tariffa oraria. Esempio: 160 ore * 10€/h = 1600€.

Vero o falso: Lavoratore X guadagna 2000€.

Falso, se lavora 180 ore a 10€/h, guadagna 1800€.

Sistema lineare semplice.

Se $\displaystyle x$ ore standard e $\displaystyle y$ stipendio, $\displaystyle 3x + 2y = 3000$ per 3 lavoratori.

Calcolo stipendio di base.

Se si lavorano 40 ore a settimana a 15€/h, stipendio mensile è: $\displaystyle 40 imes 15 imes 4 = 2400€.$

Differenza tra stipendio orario e mensile.

Orario è per ore lavorate, mensile è stipendio fisso. Es: 10€/h per 160h = 1600€.

Se un lavoratore guadagna 1800€...

e lavora 160 ore, la tariffa oraria è: $\displaystyle \frac{1800}{160} = 11,25€.$

Esempio di sistema di equazioni.

Lavoratore 1: $\displaystyle 2x + 3y = 2400$, Lavoratore 2: $\displaystyle 4x + 2y = 3000$. Risolvere per $\displaystyle x$ e $\displaystyle y$.

Ore di straordinari.

Se 20 ore straordinarie a 15€/h, 20 * 15 = 300€ extra.

Se un lavoratore ha 30 ore di straordinari...

e guadagna 12€/h, guadagna 12*30 + 1,25*12*30 = 450€ in più.

Calcolo stipendio totale.

Stipendio totale = stipendio base + pagamento straordinari. Es: 1500€ + 300€ = 1800€.

Vero o falso: Tariffa oraria fissa.

Vero, se contratto prevede stipendio fisso per ore lavorate.

Sistemare stipendi in percentuale.

Aumento stipendio del 10% su 2000€: $\displaystyle 2000 imes 0.10 = 200€$ in più.

Esempio: due lavoratori.

Lavoratore A: 1500€ per 160 ore, Lavoratore B: 1800€ per 180 ore. Confronto stipendio orario.

Compensazione ore lavorative.

Se lavoratore A fa 40 ore e B 50 ore, stipendio totale = $\displaystyle 40 imes 10 + 50 imes 12$.

Equazione per stipendio.

Se $\displaystyle x$ è ore e $\displaystyle y$ stipendio, equazione è $\displaystyle y = 12x + 800$.

Differenza tra stipendio mensile e orario.

Mensile = stipendio fisso; Orario = stipendio per ore. Es: 1600€/m vs 10€/h.