Nierówności z wartością bezwzględną

Wartość bezwzględna

Dla liczby $\displaystyle x$, wartość bezwzględna $\displaystyle |x|$ jest równa $\displaystyle x$, gdy $\displaystyle x \geq 0$, oraz $\displaystyle -x$, gdy $\displaystyle x < 0$.

Nierówność z wartością bezwzględną

Nierówność taka ma postać $\displaystyle |x| < a$, gdzie $\displaystyle a \geq 0$. Oznacza to, że $\displaystyle -a < x < a$.

Równanie z wartością bezwzględną

Równanie ma formę $\displaystyle |x - a| = b$, gdzie $\displaystyle b \geq 0$. Można je przekształcić na dwa równania: $\displaystyle x - a = b$ oraz $\displaystyle x - a = -b$.

Zastosowanie wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna służy do mierzenia odległości od zera w liczbach rzeczywistych.

Rozwiązanie nierówności

Aby rozwiązać $\displaystyle |x| < a$, rozdzielamy na dwie nierówności: $\displaystyle -a < x < a$.

Czym jest $\displaystyle |a - b|$?

$\displaystyle |a - b|$ to odległość między liczbami $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$ na osi liczbowej.

Wartość bezwzględna liczby ujemnej

Dla liczby $\displaystyle -x$, gdzie $\displaystyle x > 0$, $\displaystyle |-x| = x$.

Zasada dla $\displaystyle |x - c| < d$

Oznacza to, że $\displaystyle c - d < x < c + d$.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle |x| = x$ dla $\displaystyle x < 0$

Fałsz, ponieważ $\displaystyle |x| = -x$ w takim przypadku.

Związek z równaniami

Równania z wartością bezwzględną można przekładać na układy równań.

Alternatywa dla $\displaystyle |x| \geq a$

Oznacza to, że $\displaystyle x \leq -a$ lub $\displaystyle x \geq a$.

Rozwiązanie $\displaystyle |x - 3| < 2$

Zmieniamy na $\displaystyle 1 < x < 5$.

Rozwiązanie $\displaystyle |3x + 1| \geq 4$

Oznacza $\displaystyle 3x + 1 \leq -4$ lub $\displaystyle 3x + 1 \geq 4$, co prowadzi do dwóch rozwiązań.

Przykład z praktyki

Wartość bezwzględna może opisywać różnice temperatur, np. $\displaystyle |t_1 - t_2|$.

Czym jest $\displaystyle |x + 2| = 5$?

Rozwiązania to $\displaystyle x + 2 = 5$ oraz $\displaystyle x + 2 = -5$, co daje $\displaystyle x = 3$ oraz $\displaystyle x = -7$.

Co oznacza $\displaystyle |x| < 0$?

Fałsz, ponieważ wartość bezwzględna nie może być mniejsza od zera.

Różnica między $\displaystyle |x| < a$ a $\displaystyle |x| > a$

$\displaystyle |x| < a$ ogranicza $\displaystyle x$ w przedziale, podczas gdy $\displaystyle |x| > a$ wyklucza ten przedział.

Uzupełnij zdanie: $\displaystyle |x| = a$ ma ___ rozwiązania.

2 rozwiązania, $\displaystyle x = a$ i $\displaystyle x = -a$.

Zastosowanie w geometrii

Wartość bezwzględna opisuje odległość punktu od osi.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle |x - 1| + |x + 1| \geq 2$

Prawda, ponieważ suma odległości jest zawsze większa lub równa minimalnej odległości.

Jakie są rozwiązania $\displaystyle |x| = 7$?

$\displaystyle x = 7$ oraz $\displaystyle x = -7$.

Rozwiązanie $\displaystyle |2x - 4| = 0$

Jedno rozwiązanie: $\displaystyle x = 2$.

Zasada dla $\displaystyle |x + 1| > 3$

Oznacza to $\displaystyle x < -4$ lub $\displaystyle x > 2$.