Matura matematyka – Matura rozszerzona – dowody algebraiczne

Dowód algebraiczny

Sekwencja logicznych kroków, która udowadnia prawdziwość stwierdzenia matematycznego.

Przykład dowodu nie wprost

Zakłada, że stwierdzenie jest fałszywe, a następnie prowadzi do sprzeczności.

Równanie kwadratowe

Forma $\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$, gdzie $\displaystyle a, b, c$ są współczynnikami.

Funkcja odwrotna

Dla funkcji $\displaystyle f(x)$, funkcja odwrotna to $\displaystyle f^{-1}(x)$, która spełnia $\displaystyle f(f^{-1}(x)) = x$.

Tożsamość

Równanie, które jest prawdziwe dla wszystkich wartości zmiennych.

Rozkład wielomianu

Proces przedstawienia wielomianu jako iloczyn jego czynników.

Wyznaczanie miejsc zerowych

Rozwiązanie równania $\displaystyle f(x) = 0$ w celu znalezienia wartości $\displaystyle x$.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle x^2 - 1 = 0$ ma dwa rozwiązania.

Prawda, ponieważ $\displaystyle x = 1$ i $\displaystyle x = -1$.

Różnica między funkcją a wielomianem

Funkcja to relacja, natomiast wielomian to szczególny typ funkcji.

Uzupełnij zdanie: $\displaystyle a^2 - b^2 = (a+b)(...)$

$\displaystyle a-b$.

Indukcja matematyczna

Metoda dowodzenia, polegająca na udowodnieniu stwierdzenia dla przypadku podstawowego i przyjęciu, że jest prawdziwe dla $\displaystyle n$, a następnie dla $\displaystyle n+1$.

Prawo komutacji

Dla dowolnych $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$: $\displaystyle a + b = b + a$.

Dodawanie żądań

Równanie przyjmuje formę $\displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Definicja funkcji liniowej

Funkcja postaci $\displaystyle f(x) = ax + b$, gdzie $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$ są stałymi.

Prawda czy fałsz: Wszystkie równania kwadratowe mają rozwiązanie.

Fałsz, ponieważ niektóre równania kwadratowe mają rozwiązania zespolone.

Własności działań na liczbach

Działania są łączne, przemienne i rozdzielne dla dodawania i mnożenia.

Metoda podstawiania

Służy do rozwiązywania równań, w których jedna zmienna jest wyrażona przez drugą.

Równanie liniowe

Równanie postaci $\displaystyle ax + b = 0$, gdzie $a eq 0$.

Prawo asocjacji

Dla dowolnych $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$: $\displaystyle (a+b)+c = a+(b+c)$.

Prawda czy fałsz: Rozwiązanie równania $\displaystyle x^2 + 2x + 1 = 0$ to $\displaystyle x = -1$.

Prawda, ponieważ po rozkładzie uzyskujemy $\displaystyle (x+1)^2 = 0$.

Różnica między równaniem a funkcją

Równanie przedstawia relację między zmiennymi, funkcja definiuje zależność między nimi.

Uzupełnij zdanie: $\displaystyle x^2 + 2x + 1 = (x + ...)^2$

$\displaystyle 1$.

Zastosowanie wzorów Viète'a

Pozwalają na wyznaczenie sumy i iloczynu pierwiastków równania kwadratowego.

Funkcje całkowite

Funkcje, w których argumenty i wartości są liczbami całkowitymi.

Przykład zastosowania indukcji

Udowodnienie, że suma pierwszych $\displaystyle n$ liczb naturalnych wynosi $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$.

Prawo rozdzielności

Dla dowolnych $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$: $\displaystyle a(b+c) = ab + ac$.

Funkcje parzyste i nieparzyste

Funkcja jest parzysta, jeśli $\displaystyle f(-x) = f(x)$; nieparzysta, jeśli $\displaystyle f(-x) = -f(x)$.

Równanie z dwiema zmiennymi

Przykład: $\displaystyle 3x + 4y = 12$.

Definicja ciągu arytmetycznego

Ciąg, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała.

Różnica między funkcją a jej pochodną

Pochodna funkcji opisuje jej nachylenie w danym punkcie.

Równanie bikwadratowe

Równanie postaci $\displaystyle ax^4 + bx^2 + c = 0$, przekształca się na kwadratowe.

Prawda czy fałsz: Wszystkie funkcje są ciągłe.

Fałsz, ponieważ niektóre funkcje mają punkty nieciągłości.