Matematyka liceum – Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa

Funkcja postaci $\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c$, gdzie $\displaystyle a \neq 0$.

Miejsce zerowe funkcji kwadratowej

Rozwiązania równania $\displaystyle f(x) = 0$, obliczane przez wzory kwadratowe.

Delta

Wartość $\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac$, określa liczbę miejsc zerowych funkcji.

Wierzchołek paraboli

Punkt $\displaystyle W(x_W, y_W)$, gdzie $\displaystyle x_W = -\\frac{b}{2a}$, $\displaystyle y_W = f(x_W)$.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Forma $\displaystyle f(x) = a(x - p)^2 + q$, gdzie $\displaystyle (p, q)$ to wierzchołek paraboli.

Rozkład na czynniki

Zapis $\displaystyle f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, gdzie $\displaystyle x_1$ i $\displaystyle x_2$ to miejsca zerowe.

Oznaczenie współczynników

$\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ to współczynniki funkcji kwadratowej $\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c$.

Parabola

Graficzna reprezentacja funkcji kwadratowej, otwarta w górę dla $\displaystyle a > 0$.

Wartość największa/najmniejsza

Wierzchołek paraboli, osiągany dla $\displaystyle a < 0$ lub $\displaystyle a > 0$.

Symetria funkcji kwadratowej

Parabola jest symetryczna względem prostej $\displaystyle x = x_W$.

Funkcja parzysta/nierównoważna

Funkcja kwadratowa jest funkcją parzystą, ponieważ $\displaystyle f(-x) = f(x)$.

Zmienna niezależna

W funkcji kwadratowej to $\displaystyle x$, dla którego obliczamy $\displaystyle f(x)$.

Zmienna zależna

W funkcji kwadratowej to $\displaystyle f(x)$, wynik dla danego $\displaystyle x$.

Osie symetrii

Oś $\displaystyle x = -\\frac{b}{2a}$ dzieli parabolę na dwie symetryczne części.

Równanie funkcji kwadratowej

Można zapisać w postaci ogólnej lub kanonicznej w zależności od potrzeb.

Zastosowania funkcji kwadratowej

Modelowanie zjawisk fizycznych, ekonomicznych, oraz w geometrii.

Maksimum i minimum funkcji

Funkcja kwadratowa osiąga maksimum lub minimum w wierzchołku.

Funkcja rosnąca/malejąca

Funkcja rośnie na $\displaystyle (-\infty, x_W)$ i maleje na $\displaystyle (x_W, \infty)$ dla $\displaystyle a > 0$.

Oblicz miejsca zerowe: $\displaystyle 2x^2 - 4x = 0$

Miejsca zerowe to $\displaystyle x_1 = 0$, $\displaystyle x_2 = 2$.

Wyznacz wierzchołek dla $\displaystyle f(x) = x^2 - 4x + 6$

Wierzchołek to $\displaystyle W(2, 2)$.

Jakie są wartości dla $\displaystyle \Delta < 0$?

Brak miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

Oblicz wartość największą dla $\displaystyle f(x) = -x^2 + 4x$

Wartość największa to $\displaystyle f(2) = 4$.

Porównaj funkcje: $\displaystyle f(x) = x^2$ i $\displaystyle g(x) = -x^2$

Funkcja $\displaystyle f$ ma minimum, a $\displaystyle g$ maksimum.

Jak wygląda wykres $\displaystyle f(x) = 2x^2 + 3$?

Parabola otwarta w górę, przesunięta w górę o 3 jednostki.

Wyszukaj miejsca zerowe: $\displaystyle x^2 + 2x + 1 = 0$

Miejsce zerowe to $\displaystyle x_1 = -1$ (podwójne).

Jakie są współczynniki funkcji $\displaystyle f(x) = 3x^2 - 5$?

$\displaystyle a = 3$, $\displaystyle b = 0$, $\displaystyle c = -5$.

Oblicz wartość funkcji dla $\displaystyle x = 3$: $\displaystyle f(x) = x^2 - 2$

$\displaystyle f(3) = 7$.

Funkcja rosnąca dla $\displaystyle a > 0$?

Tak, rośnie w przedziale $\displaystyle (-\infty, x_W)$.

Oblicz postać kanoniczną $\displaystyle f(x) = x^2 - 4x + 3$

Postać kanoniczna to $\displaystyle f(x) = (x - 2)^2 - 1$.

Jak wykres zmieni się przy $\displaystyle a < 0$?

Parabola otworzy się w dół.

Wzór kwadratowy

Rozwiązanie $\displaystyle x = \\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Oblicz $\displaystyle \Delta$ dla $\displaystyle f(x) = 2x^2 + 4x + 2$

$\displaystyle \Delta = 0$, jedno miejsce zerowe.

Oblicz wartość minimalną funkcji $\displaystyle f(x) = x^2 + 2x + 1$

Minimum to $\displaystyle f(-1) = 0$.

Funkcja kwadratowa zawsze ma...

...jeden lub dwa miejsca zerowe.

Równanie kwadratowe to...

...każde równanie w formie $\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$.

Oblicz wartość dla $\displaystyle x = 0$: $\displaystyle f(x) = -x^2 + 5$

$\displaystyle f(0) = 5$.