kombinatorik enkla fall att kunna

Vad är en kombination?

En kombination är ett urval av objekt där ordningen inte spelar roll. Exempel: Att välja 2 frukter från en lista.

Beräkna: Välj 3 frukter från 5.

Antal sätt: $\displaystyle C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10$

Är kombinationer och permutationer samma sak?

Nej, i kombinationer spelar ordningen ingen roll, medan den gör det i permutationer.

Fyll i: Antal sätt att välja 2 kläder från 4 = ...

$\displaystyle C(4, 2) = 6$

Ge ett exempel på en vardaglig situation med kombinationer.

Att välja 5 böcker från ett bibliotek med 20 böcker.

Vad är formeln för kombinationer?

Formeln är: $\displaystyle C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ där $\displaystyle n$ är totalt antal objekt och $\displaystyle k$ är valda objekt.

Beräkna: Välj 4 olika filmer från 8.

Antal sätt: $\displaystyle C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = 70$

Sann eller falsk: Valt antal kombinationer ökar med fler objekt.

Sann. Ju fler objekt, desto fler möjliga kombinationer.

Vad är skillnaden mellan $\displaystyle C(5, 2)$ och $\displaystyle P(5, 2)$?

$\displaystyle C(5, 2)$ = 10 (utan ordning), $\displaystyle P(5, 2)$ = 20 (med ordning).

Antal sätt att välja 2 av 6 varor är ...

$\displaystyle C(6, 2) = 15$

Ge ett exempel där kombinationer används vid resor.

Välja 3 resmål av 10 för en semesterresa.

Fyll i: Antal sätt att välja 1 lärare från 5 = ...

$\displaystyle C(5, 1) = 5$

Vad betyder $\displaystyle C(n, n)$?

$\displaystyle C(n, n) = 1$, det finns bara ett sätt att välja alla objekt.

I en tävling, välja 3 pristagare av 10: ...

$\displaystyle C(10, 3) = 120$

Är $\displaystyle C(6, 2)$ lika med $\displaystyle C(6, 4)$?

Ja, $\displaystyle C(6, 2) = C(6, 4)$ eftersom det handlar om att välja 2 eller 4 objekt.

Uppgift: Välj 2 av 5 färger.

$\displaystyle C(5, 2) = 10$

Vad är en permutation?

En permutation är ett arrangemang av objekt där ordningen spelar roll.

Sant eller falskt: 5! = 120.

Sant. 5! (fakultet) är 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Beräkna antalet sätt att ordna 4 böcker.

Antalet sätt: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Vad är 6! / 2!?

6! / 2! = 720 / 2 = 360.

Skillnad mellan permutationer och kombinationer?

Permutationer: ordning spelar roll. Kombinationer: ordning spelar ingen roll.

Fyll i: 3! = _____

3! = 6.

Fråga: Hur många sätt att ordna 3 personer?

3! = 6 sätt.

Antal sätt att arrangera A, B, C, D?

4! = 24 arrangemang.

Vad är skillnaden mellan 4! och 4P2?

4! = 24, 4P2 = 12 (ordning på 2 av 4).

Ge ett exempel på permutation i vardagen.

Ordna olika frukter i en fruktkorg.

Beräkna arrangemang av 5 objekt valda 3 åt gången.

5P3 = 5! / (5-3)! = 60.

Sant eller falskt: 0! = 1.

Sant. Definierad som 1.

Vad innebär 'utan upprepning' i permutationer?

Inga objekt används mer än en gång i arrangemanget.

Ge exempel på att arrangera kläder.

Ordna skjortor, byxor och skor för en resa.

Beräkna: 7P4?

7P4 = 7! / (7-4)! = 840.

Fyll i: 8! / 6! = _____

8! / 6! = 8 × 7 = 56.

Sannolikheten att få en sexa på en tärning?

Det finns 6 sidor. Sannolikheten är $\displaystyle \frac{1}{6}$.

Vad är sannolikheten att dra ett klätt kort?

Det finns 12 klädda kort i en kortlek. Sannolikheten är $\displaystyle \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.

Om du väljer en frukt från 5 sorter, sannolikhet?

Sannolikheten att välja en viss sort är $\displaystyle \frac{1}{5}$.

Om 3 av 10 elever är tjejer, procent?

Procentandelen tjejer är \displaystyle \frac{3}{10} imes 100 = 30 ext{%}.

Sant eller falskt: 2/5 är högre än 1/2.

Falskt. $\displaystyle 2/5 = 0.4$ och $\displaystyle 1/2 = 0.5$.

Kombinationer eller permutationer: Ordna 4 böcker?

Permutationer, eftersom ordningen spelar roll.

Kombinationer: Hur många sätt att välja 2 av 5?

Använd formeln: $\displaystyle C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Så $\displaystyle C(5, 2) = 10$.

Vad är sannolikheten att få minst en sexa på 2 tärningar?

Beräkna först att inte få sexa: $\displaystyle \frac{5}{6} imes \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$. Sannolikheten att få minst en sexa är $\displaystyle 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$.

Sannolikheten att få 3 röda kulor ur 10?

Om 4 är röda: $\displaystyle C(4, 3) imes C(6, 0) / C(10, 3) = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$.

Vad är sannolikheten att få en 1:a eller 2:a på en tärning?

Sannolikheten är $\displaystyle \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Fyll i: Sannolikheten att få en klädd kort är ____.

$\displaystyle \frac{3}{13}$.

Kombinationer vs. permutationer: Ordna 3 bilar?

Permutationer, eftersom ordningen är viktig.

Om 5 av 20 elever klarar provet, procent?

Procenten är \displaystyle \frac{5}{20} imes 100 = 25 ext{%}.

Sannolikheten att dra en ess från en kortlek?

Det finns 4 ess. Sannolikheten är $\displaystyle \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.

Sant eller falskt: 3/4 är lägre än 1/2.

Falskt. $\displaystyle 3/4 = 0.75$ och $\displaystyle 1/2 = 0.5$.

Om 6 av 15 bilar är röda, vad är sannolikheten?

Sannolikheten att välja en röd bil är $\displaystyle \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.

Kombinatorik i butiken: 3 frukter, 2 drycker.

Antal olika måltider: $\displaystyle 3 imes 2 = 6$. Du kan välja 6 olika måltider.

Tärningskast: Vad är sannolikheten för 3?

Sannolikhet: $\displaystyle \frac{1}{6}$, eftersom det finns 6 sidor.

Värmelotter: 5 olika priser, 3 lotter.

Antal sätt att välja: $\displaystyle C(5, 3) = 10$ sätt.

Sannolikhet av att få två sexor.

Sannolikhet: $\displaystyle P = \frac{1}{36}$. Det finns 6 x 6 möjliga utfall.

Kombination av kläder: 4 tröjor, 3 byxor.

Totalt antal outfits: $\displaystyle 4 imes 3 = 12$.

Resa: 5 städer, 2 besök per stad.

Antal besök: $\displaystyle 5 imes 2 = 10$ totalt.

Möjliga lunchval: 3 smörgåsar, 2 soppor?

Totala måltider: $\displaystyle 3 + 2 = 5$ alternativ.

Sannolikhet att dra en röd kula.

Om 4 av 10 kulor är röda: $\displaystyle P = \frac{4}{10} = 0.4$.

Vinna på lotteri: 1 av 1000.

Sannolikhet: $\displaystyle P = 0.001$. Mycket låg chans.

Utskick av 3 olika erbjudanden: 100 kunder.

Möjliga grupper av kunder: $\displaystyle C(100, 3)$.

Fyll i: 5 frukter, 2 val. Antal sätt: ___.

$\displaystyle C(5, 2) = 10$. Du kan välja 10 olika par.

Kombinationer av blommor: 3 rosor, 2 tulpaner.

Antal buketter: $\displaystyle C(3+2, 2) = 10$.

Möjliga rutter: 4 vägar till jobbet.

Total ruttalternativ: $\displaystyle 2^4 = 16$ rutter.

Vinna i spel: 3 utfall, 1 vinst.

Sannolikhet för vinst: $\displaystyle P = \frac{1}{3}$.

Tre kläder: 2 blusar, 1 kjol.

Antal outfits: $\displaystyle 2 imes 1 = 2$.

Vilken lott ger bäst odds?

Jämför: 1 av 100 eller 1 av 50. 1 av 50 ger bättre odds.