Bac dérivée et variations épreuve

Dérivée d'une fonction

La dérivée d'une fonction à un point mesure la pente de la tangente à la courbe en ce point.

Interprétation économique d'une dérivée

La dérivée d'une fonction de coût par rapport à la quantité indique le coût marginal.

Variante d'une fonction f(x) sur [a, b]

La fonction f est croissante sur [a, b] si f'(x) > 0 pour tout x ∈ [a, b].

Résoudre un problème de maximisation

Pour maximiser une fonction, dérivez, équilibrez à zéro, puis identifiez le maximum par test de la dérivée seconde.

Dérivée seconde

La dérivée seconde f''(x) donne des informations sur la concavité de f(x). Si f''(x) > 0, f est concave vers le haut.

Application : Trajet

Pour un trajet donné, la dérivée de la distance par rapport au temps donne la vitesse instantanée.

Coût marginal

Le coût marginal est la dérivée de la fonction de coût par rapport à la quantité produite. Ex: C(q) = 20q + 5.

Rendement décroissant

Dès que la dérivée du rendement devient négative, on observe une diminution du rendement par unité ajoutée.

Valeur optimale d'un loyer

Pour déterminer le loyer optimal, calculez la dérivée de la fonction de bénéfice par rapport au loyer et équilibrez à zéro.

Vitesse moyenne

Vitesse moyenne sur un intervalle [a, b] est donnée par Δd/Δt, où Δd est le changement de distance et Δt le changement de temps.

Dérivée et concavité

Si f'(x) change de signe, il y a un extremum local. Vérifiez f''(x) pour la concavité.

Exemple de coût total

Si C(q) = 50 + 10q, alors C'(q) = 10, ce qui signifie que chaque unité coûte 10€.

Utilisation de la dérivée

On utilise les dérivées pour optimiser la production, réduire les coûts, ou maximiser le profit.

Cas d'un magasin

Si P(x) = -10x² + 200x, la dérivée P'(x) = -20x + 200 donne le taux de changement des profits.

Dérivée et maximum

Pour le max de P(x), résolvez P'(x) = 0, puis testez avec P''(x) pour la concavité.

Variation d'une fonction

Pour étudier la variation de f(x), examinez le signe de f'(x) sur l'intervalle d'étude.

Dérivée d'une fonction exponentielle

Si f(x) = e^x, alors f'(x) = e^x. La fonction exponentielle croît sans limite.

Montant d’un salaire

Pour maximiser le salaire net, il faut dériver la fonction des entrées et sortir des coûts variables.

Dérivée d'une fonction quadratique

Pour f(x) = ax² + bx + c, f'(x) = 2ax + b. Cherchez les racines pour trouver les extremums.

Application : Température

La dérivée de la température T(t) par rapport au temps t mesure le taux de changement de température.

Ordre de croissance

Analysez la fonction f(x) pour déterminer son ordre de croissance : linéaire, quadratique ou exponentielle.

Loyer et dérivée

Pour fixer le loyer, dérivez la fonction de demande D(l) pour maximiser les bénéfices.

Sens de variation

S'il existe un intervalle où f' est positif, la fonction f est croissante sur cet intervalle.

Dérivée d'une fonction constante

Si f(x) = c (constant), alors f'(x) = 0. Pas de variation dans les valeurs de f.

Comparaison des dérivées

Deux fonctions f et g sont comparables si leurs dérivées respectives sont toutes deux positives ou négatives.