Tablas de verdad de los conectores

Conector 'y'

Representa la conjunción lógica. Solo es verdadero si ambas proposiciones son verdaderas. Tabla: A B | A ∧ B ------------------ V V | V V F | F F V | F F F | F

Conector 'o'

Representa la disyunción lógica. Es verdadero si al menos una proposición es verdadera. Tabla: A B | A ∨ B ------------------ V V | V V F | V F V | V F F | F

Conector 'no'

Representa la negación lógica. Invierte el valor de verdad de una proposición. Tabla: A | ¬A ------------------ V | F F | V

Conector 'implicación'

Representa la relación condicional. A implica B es falso solo si A es verdadero y B es falso. Tabla: A B | A → B ------------------ V V | V V F | F F V | V F F | V

¿Qué significa A ∧ B?

Significa que A y B son verdaderos. Solo es verdadero si ambas proposiciones A y B son verdaderas.

¿Cómo se representa la disyunción exclusiva?

Se representa como A ⊕ B y es verdadero solo si A o B son verdaderos, pero no ambos.

¿Qué es A ∨ B?

Es la disyunción lógica. Se cumple si al menos una de las proposiciones A o B es verdadera.

Comparación: A ∧ B vs A ∨ B

A ∧ B es verdadero solo si A y B son verdaderos. A ∨ B es verdadero si al menos uno de A o B es verdadero.

Ejemplo: Tabla de verdad de A ∧ B

A B | A ∧ B ------------------ V V | V V F | F F V | F F F | F

Ejemplo: Tabla de verdad de A ∨ B

A B | A ∨ B ------------------ V V | V V F | V F V | V F F | F

¿Qué indica ¬A?

Indica que A es falso. Es la negación de la proposición A.

Causa → Efecto: A → B

Si A es verdadero y B es falso, entonces A → B es falso. En otros casos, es verdadero.

¿Es A → B verdadero si A es falso?

Sí, A → B es verdadero si A es falso, independientemente del valor de B.

Tabla de verdad de A → B

A B | A → B ------------------ V V | V V F | F F V | V F F | V

¿Cuándo A ∨ B es falso?

A ∨ B es falso solo cuando ambas A y B son falsas.

Lógica: A ∧ ¬B

Es verdadero si A es verdadero y B es falso. Ejemplo: A = V, B = F.

Definición de 'negación'

Es el conector lógico que transforma verdadero en falso y viceversa.

¿Verdadero o falso? 'A ∧ B es verdadero si A es falso.'

Falso. A ∧ B solo es verdadero si ambas A y B son verdaderas.

Ejemplo: ¬(A ∧ B)

Es verdadero si al menos uno de A o B es falso. Lógica de De Morgan.

¿Cuándo es verdadero A → B?

A → B es verdadero en los siguientes casos: - A es falso (independientemente de B). - A es verdadero y B es verdadero. Falso solo si A es verdadero y B es falso.

¿Qué es la equivalencia lógica?

Dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad.

Conector 'si y solo si'

Representado como $\displaystyle p \iff q$. Verdadero solo si ambos son verdaderos o ambos son falsos.

Tabla de verdad de $\displaystyle p \iff q$

- $\displaystyle T \iff T \rightarrow T$ - $\displaystyle T \iff F \rightarrow F$ - $\displaystyle F \iff T \rightarrow F$ - $\displaystyle F \iff F \rightarrow T$

Diferencia entre 'y' y 'si y solo si'

'Y' requiere que ambas proposiciones sean verdaderas, 'si y solo si' requiere que sean iguales.

Ejemplo de $\displaystyle p \iff q$

Si $\displaystyle p$: "hace sol" y $\displaystyle q$: "tengo que llevar gafas", entonces $\displaystyle p \iff q$ es $\displaystyle T$ si ambos son verdaderos.

¿Es cierto que $\displaystyle p \iff T$?

Verdadero. Cualquier proposición $\displaystyle p$ es equivalente a verdadero solo si $\displaystyle p$ es verdadero.

Conectores compuestos más comunes

1. $\displaystyle p \land q$ 2. $\displaystyle p \lor q$ 3. $\displaystyle p \rightarrow q$ 4. $\displaystyle p \iff q$

¿Qué significa $\displaystyle p \land q$?

Es verdadero solo si ambas proposiciones $\displaystyle p$ y $\displaystyle q$ son verdaderas.

Tabla de verdad de $\displaystyle p \land q$

- $\displaystyle T \land T \rightarrow T$ - $\displaystyle T \land F \rightarrow F$ - $\displaystyle F \land T \rightarrow F$ - $\displaystyle F \land F \rightarrow F$

¿Qué significa $\displaystyle p \lor q$?

Es verdadero si al menos una de las proposiciones $\displaystyle p$ o $\displaystyle q$ es verdadera.

Tabla de verdad de $\displaystyle p \lor q$

- $\displaystyle T \lor T \rightarrow T$ - $\displaystyle T \lor F \rightarrow T$ - $\displaystyle F \lor T \rightarrow T$ - $\displaystyle F \lor F \rightarrow F$

¿Qué es la negación de una proposición?

Es el conector $\displaystyle \neg p$. Invierte el valor de verdad de $\displaystyle p$.

Tabla de verdad de $\displaystyle \neg p$

- $\displaystyle \neg T \rightarrow F$ - $\displaystyle \neg F \rightarrow T$

Ejemplo de conectores compuestos

Para $\displaystyle p$: "estudio" y $\displaystyle q$: "apruebo", $\displaystyle p \land (q \iff T)$ es verdadero si estudio y apruebo.

¿Es cierto que $\displaystyle p \lor F$ siempre es $\displaystyle p$?

Verdadero. $\displaystyle p \lor F$ es equivalente a $\displaystyle p$.

Relación entre implicación y equivalencia

La implicación $\displaystyle p \rightarrow q$ es equivalente a $\displaystyle \neg p \lor q$.

¿Cómo se expresa $\displaystyle p \iff q$ en términos de $\displaystyle \land$ y $\displaystyle \lor$?

$\displaystyle p \iff q$ se puede escribir como $\displaystyle (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow p)$.

¿Qué es la doble negación?

Es el principio que establece que $\displaystyle \neg(\neg p)$ es equivalente a $\displaystyle p$.

¿Qué forma tiene la equivalencia lógica?

La equivalencia se define como $\displaystyle p \iff q$ si $\displaystyle p \rightarrow q$ y $\displaystyle q \rightarrow p$ son verdaderas.

Tabla de verdad de $\displaystyle p ightarrow q$ y $\displaystyle p ightarrow q ightarrow r$

| $\displaystyle p$ | $\displaystyle q$ | $\displaystyle r$ | $\displaystyle p ightarrow q$ | $\displaystyle p ightarrow q ightarrow r$ | |-----|-----|-----|------------------|-------------------------| | T | T | T | T | T | | T | T | F | T | F | | T | F | T | F | T | | T | F | F | F | F | | F | T | T | T | T | | F | T | F | T | F | | F | F | T | T | T | | F | F | F | T | F |

Propiedad de idempotencia

Para el conector 'y': $\displaystyle p ext{ y } p ightarrow p$. Para 'o': $\displaystyle p ext{ o } p ightarrow p$.

¿Qué es la doble negación?

$ eg ( eg p) ightarrow p$. Es una equivalencia válida.

Propiedad de conmutatividad

Para 'y': $\displaystyle p ext{ y } q ightarrow q ext{ y } p$. Para 'o': $\displaystyle p ext{ o } q ightarrow q ext{ o } p$.

¿Qué implica la tautología?

Una expresión que siempre es verdadera. Ejemplo: $p ext{ o } eg p$.

¿Qué es el principio de explosión?

De una contradicción se puede derivar cualquier proposición: $p ext{ y } eg p ightarrow q$.

Ejemplo de equivalencia lógica

$p ext{ implica } q ightarrow eg p ext{ o } q$. Utiliza la tabla de verdad.

Función de verdad de 'y'

Verdadero solo si ambas son verdaderas. Tabla: - $\displaystyle TT ightarrow T$ - $\displaystyle TF ightarrow F$ - $\displaystyle FT ightarrow F$ - $\displaystyle FF ightarrow F$.

¿Qué es una contradicción?

Una expresión que siempre es falsa. Ejemplo: $p ext{ y } eg p$.

¿Para qué sirve la tabla de verdad?

Evaluar la validez de proposiciones lógicas mediante su verdad o falsedad.

Relación entre equivalencias

Si $\displaystyle A ightarrow B$ y $\displaystyle B ightarrow A$, entonces $\displaystyle A ext{ es equivalente a } B$.

¿Qué demuestra el modus ponens?

Si $\displaystyle p$ es verdadero y $\displaystyle p ightarrow q$, entonces $\displaystyle q$ es verdadero.

Propiedad de asociatividad

Para 'y': $\displaystyle (p ext{ y } q) ext{ y } r ightarrow p ext{ y } (q ext{ y } r)$.

Ejemplo de aplicación en razonamientos

Si $\displaystyle p$: "Llueve", $\displaystyle q$: "Me mojaré". Si $\displaystyle p ightarrow q$, entonces si llueve, me mojaré.

Razonamiento por reducción al absurdo

Asumir $ eg p$\displaystyle y demostrar contradicción. Conduce a aceptar$p$.

¿Qué es la implicación material?

$\displaystyle p ightarrow q$ es falso solo si $\displaystyle p$ es verdadero y $\displaystyle q$ falso.

Aplicación de las tablas en EBAU

Se pueden usar para comprobar la validez de argumentos y resolver problemas lógicos.

Comparación: Tautología vs Contradicción

Tautología: siempre verdadera. Contradicción: siempre falsa.

Ejemplo de distributividad

$\displaystyle p ext{ y } (q ext{ o } r) ightarrow (p ext{ y } q) ext{ o } (p ext{ y } r)$.

¿Qué es la negación de una proposición?

Inversa de la proposición. Ejemplo: $\displaystyle p$: "Está lloviendo"; $ eg p$: "No está lloviendo".

Propiedad de absorción

$\displaystyle p ext{ o } (p ext{ y } q) ightarrow p$. Esta propiedad simplifica expresiones.

Construye la tabla de verdad de 'p y q'.

p | q | p ∧ q ---|---|--- V | V | V V | F | F F | V | F F | F | F

¿Cuál es la tabla de verdad de 'no p'?

p | ¬p ---|--- V | F F | V

Si p es verdadero y q es falso, ¿qué es p o q?

p ∨ q = V. (V o F = V)

Completa: p → q es falso solo si...

...p es verdadero y q es falso.

Construye la tabla de verdad para 'p si y solo si q'.

p | q | p ↔ q ---|---|--- V | V | V V | F | F F | V | F F | F | V

Verdadero o falso: p ∨ ¬p siempre es verdadero.

Verdadero. Es una tautología.

Ejemplo de tabla de verdad para p → (q ∧ r).

p | q | r | p → (q ∧ r) ---|---|---|--- V | V | V | V V | V | F | F V | F | V | F V | F | F | F F | ... | ... | V

Diferencia entre 'y' y 'o'.

'y' (∧): verdadero solo si ambos son verdaderos. 'o' (∨): verdadero si al menos uno es verdadero.

Construye la tabla de verdad para ¬(p ∨ q).

p | q | ¬(p ∨ q) ---|---|--- V | V | F V | F | F F | V | F F | F | V

¿Qué es un contrarrecíproco?

El contrarrecíproco de p → q es ¬q → ¬p. Ambas implicaciones son lógicamente equivalentes.

¿Cuándo es verdadera p ∧ ¬q?

Es verdadera cuando p es verdadera y q es falsa.

Ejemplo de tabla de verdad: (p ∧ q) ∨ r.

p | q | r | (p ∧ q) ∨ r ---|---|---|--- V | V | V | V V | V | F | V V | F | V | V V | F | F | F F | ... | ... | V

Construye la tabla de verdad de ¬(p ∧ q).

p | q | ¬(p ∧ q) ---|---|--- V | V | F V | F | V F | V | V F | F | V

¿Cómo se llama la equivalencia p → q y ¬p ∨ q?

Se llama ley de implicación. Ambas expresiones son equivalentes.

Ejercicio: define p y q, construye p ↔ q.

p | q | p ↔ q ---|---|--- V | V | V V | F | F F | V | F F | F | V

¿Qué significa p ∨ (q ∧ r)?

Es verdadero si p es verdadero, o si ambos q y r son verdaderos.

Completa la tabla para ¬p ∧ q.

p | q | ¬p | ¬p ∧ q ---|---|---|--- V | V | F | F V | F | F | F F | V | V | V F | F | V | F

¿Cuándo es verdadera la regla de absorción p ∨ (p ∧ q)?

Siempre es verdadera. Es una propiedad lógica.

Construye la tabla de verdad para p ∧ (q ∨ r).

| p | q | r | q ∨ r | p ∧ (q ∨ r) | |---|---|---|-------|--------------| | V | V | V | V | V | | V | V | F | V | V | | V | F | V | V | V | | V | F | F | F | F | | F | V | V | V | F | | F | V | F | V | F | | F | F | V | V | F | | F | F | F | F | F

¿Qué sucede si p es verdadero y q es falso en p ∧ q?

Falso. - La conjunción p ∧ q es verdadera solo si ambos son verdaderos. - Si uno es falso, el resultado es falso.