Théorème des valeurs intermédiaires révision bac

Théorème des valeurs intermédiaires ?

Si $\displaystyle f$ est continue sur $\displaystyle [a, b]$ et $\displaystyle N$ entre $\displaystyle f(a)$ et $\displaystyle f(b)$, alors il existe $\displaystyle c ightarrow f(c) = N$.

Utilisation pratique : trajet.

Lors d'un trajet, si la vitesse à un instant est 50 km/h et à un autre 100 km/h, il y a un moment où la vitesse était de 75 km/h.

Vrai ou faux : Continué implique valeurs intermédiaires.

Vrai. La continuité d'une fonction sur un intervalle garantit qu'elle prend toutes les valeurs entre ses extrêmes.

Situation : loyer. Que conclure ?

Si le loyer change de 500€ à 800€, alors il existe un mois où le loyer était par exemple 650€.

Comparaison : continue vs discontinue.

Une fonction continue garantit la présence de valeurs intermédiaires, contrairement à une fonction discontinue.

Application : température.

Si la température passe de 15°C à 25°C, alors il y a un moment où elle était de 20°C.

Exemple : prix. Que se passe-t-il ?

Si le prix d'un article est de 20€ à 30€, alors il existe un moment où le prix a été 25€.

Théorème et fonctions polynomiales.

Toute fonction polynomiale est continue, donc elle respecte le théorème des valeurs intermédiaires sur tout intervalle.

Vrai ou faux : Valeurs extrêmes garantissent intermédiaires.

Vrai. Avoir des valeurs extrêmes implique, par continuité, toutes les valeurs intermédiaires.

Exemple : vitesse entre deux points.

Si on roule à 60 km/h et qu'on accélère à 90 km/h, alors on doit passer par 75 km/h à un moment donné.

Cause : changement de température.

Une variation de température sur un intervalle implique des valeurs intermédiaires parcourues entre les extrêmes mesurés.

Situation : salaire.

Si le salaire d'un employé passe de 1500€ à 2000€, alors il a déjà eu un moment à 1750€.

Formule clé à retenir.

$\displaystyle f$ continue sur $\displaystyle [a, b]$, donc $\displaystyle \forall N$ tel que $\displaystyle f(a) < N < f(b)$, existe $\displaystyle c ext{ tel que } f(c)=N$.

Rappel : continuité sur $\displaystyle [a, b]$. Pourquoi ?

La continuité de la fonction sur l'intervalle assure qu'elle ne saute pas et couvre toutes les valeurs entre les bornes.

Exemple : altitude sur un trajet.

Si l'altitude passe de 100m à 300m, alors il existe un moment où l'altitude était de 200m.

Théorème et fonctions exponentielles.

Les fonctions exponentielles étant continues, elles respectent également le théorème des valeurs intermédiaires.

Si un magasin vend entre 20 et 50 euros...

Il existe un prix de vente de 30 euros. Cela illustre le théorème des valeurs intermédiaires.

Vrai ou faux : plusieurs prix sont possibles...

Vrai. Si les prix de deux objets sont différents, le théorème garantit qu'il existe des prix intermédiaires.

Un trajet commence à 10 km et finit à 30 km...

Il existe une distance de 20 km que la voiture a parcourue. Cela reflète les valeurs intermédiaires.

Un loyer varie entre 700 et 1000 euros...

Il est possible de trouver un loyer de 850 euros, ce qui démontre le théorème des valeurs intermédiaires.

Si la température passe de 15°C à 25°C...

Il y a une température de 20°C à un moment donné. Valeur intermédiaire confirmée.

Complétez : Si la vitesse varie entre 60 et 120 km/h...

Il existe une vitesse de 90 km/h atteinte en cours de route.

Un salaire de 1500 euros à 3000 euros...

Il existe un salaire de 2250 euros possible. Illustration des valeurs intermédiaires.

Vrai ou faux : le trajet d'un objet en mouvement...

Vrai. Il peut atteindre toutes les distances entre celles de départ et d'arrivée.

Si un produit coûte entre 5 et 15 euros...

Il existe un prix de 10 euros, ce qui illustre le théorème des valeurs intermédiaires.

Un bus part à 8h et arrive à 9h, distance 60 km...

Il y a un moment où le bus roule à 30 km/h, une vitesse intermédiaire.

Comparaison : prix de deux produits A et B...

Si A=20€ et B=40€, alors il existe un prix de 30€, valeur intermédiaire.

Vitesse d'une voiture entre 80 et 100 km/h...

Il existe une vitesse de 90 km/h atteinte pendant le trajet. Application du théorème.

Si un étudiant a 12 à 18 de moyenne...

Il est possible d'avoir une moyenne de 15, valeur intermédiaire entre les deux notes.

Complétez : En montant un escalier de 1 à 10 marches...

Chaque marche correspond à une hauteur intermédiaire atteinte.

Un trajet de 50 à 100 km...

Il y a une distance de 75 km parcourue, illustrant le théorème.

Vrai ou faux : tous les prix sont atteignables entre 10 et 20 euros...

Vrai, le théorème garantit que tous les prix intermédiaires existent.

Considérons une fonction continue sur [1, 3].

Si $\displaystyle f(1) = 2$ et $\displaystyle f(3) = 6$, alors il existe $\displaystyle c ext{ tel que } f(c) = 4$.

Trouve un exemple concret utilisant le théorème.

Dans un magasin, la température passe de 10°C à 20°C. Il existe un moment où la température est de 15°C.

Vrai ou faux : $\displaystyle f$ continue implique $\displaystyle f$ croissante.

Faux. Une fonction peut être continue et décroissante, comme $\displaystyle f(x) = -x + 3$ sur [0, 3].

Si $\displaystyle f(2) = 5$ et $\displaystyle f(3) = 3$, que conclure ?

Il existe $\displaystyle c ext{ tel que } f(c) = 4$ sur l'intervalle [2, 3].

Complète : Si $\displaystyle f(0) = -2$ et $\displaystyle f(4) = 5$, alors...

...il existe $\displaystyle c ext{ tel que } f(c) = 0$ sur [0, 4].

Compare les deux situations : $\displaystyle f(1) = 0, f(2) = 2$ et $\displaystyle g(1) = 0, g(2) = -1$.

Pour $\displaystyle f$, il y a un $\displaystyle c$ tel que $\displaystyle f(c) = 1$, mais pas pour $\displaystyle g$ sur [1, 2].

Exercice : Trouve $\displaystyle c$ pour $\displaystyle f(x) = x^2 - 4$ sur [0, 3].

On a $\displaystyle f(0) = -4$ et $\displaystyle f(3) = 5$. Donc $\displaystyle c ext{ tel que } f(c) = 0$ existe entre 0 et 3.

Pour $\displaystyle f(2) = 3$ et $\displaystyle f(5) = 10$, avec $\displaystyle f$ continue...

Il existe $\displaystyle c ext{ tel que } f(c) = 8$ sur l'intervalle [2, 5].

Vrai ou faux : Les fonctions discontinues respectent le théorème.

Faux. Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique uniquement aux fonctions continues.

Équation à résoudre : $\displaystyle f(x) = 0$ sur [−1, 1] avec $\displaystyle f(x) = x^3 - x$.

On sait que $\displaystyle f(-1) = 0$ et $\displaystyle f(1) = 0$. Il existe $\displaystyle c$ tel que $\displaystyle f(c) = 0$ dans [-1, 1].

Si $\displaystyle f$ est continue et $\displaystyle f(a) < 0$, $\displaystyle f(b) > 0$...

...alors, d'après le théorème, il existe $\displaystyle c ext{ tel que } f(c) = 0$ dans (a, b).

Résoudre : $\displaystyle f(x) = 3x - 7$ sur [2, 5].

On a $\displaystyle f(2) = -1$ et $\displaystyle f(5) = 8$. Par le théorème, $\displaystyle c$ tel que $\displaystyle f(c) = 0$ existe entre 2 et 5.

Exemple d'application : Loyer d'un appartement.

Loyer passe de 600€ à 800€ sur 6 mois. Il y aura un moment où le loyer est de 700€.

Détermine si $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ respecte le théorème.

Non, car $\displaystyle f$ n'est pas continue en $\displaystyle x = 1$. Discontinuité exclut l'application du théorème.

Trouver $\displaystyle c$ pour $\displaystyle f(x) = 2x + 1$ sur [−2, 2].

Avec $\displaystyle f(-2) = -3$ et $\displaystyle f(2) = 5$, il existe $\displaystyle c ext{ tel que } f(c) = 0$ entre -2 et 2.

Quel est l'impact du théorème sur les trajectoires ?

Il garantit qu'une voiture, allant de 30 km/h à 70 km/h, atteindra toutes les vitesses intermédiaires sur son trajet.