Somme de variables aléatoires révision bac

Que représente la somme de variables aléatoires discrètes ?

La somme de variables aléatoires discrètes représente la combinaison de plusieurs résultats d'événements aléatoires. Par exemple, le total des ventes de deux jours différents.

Vrai ou faux : la somme de deux variables indépendantes est toujours supérieure à chacune.

Faux. La somme peut être inférieure si les deux variables prennent des valeurs faibles.

Exemple pratique de somme de variables :

Un magasin vend des T-shirts. Un jour, il en vend 10, et le lendemain 15. La somme est 10 + 15 = 25 T-shirts.

Calculer la somme : X1 = 3, X2 = 5, X3 = 2.

La somme est X1 + X2 + X3 = 3 + 5 + 2 = 10.

Que signifie E(X1 + X2) ?

Cela représente l'espérance de la somme de deux variables aléatoires. On calcule E(X1) + E(X2).

Exemple de variables aléatoires :

X1 : nombre de clients un jour (variable aléatoire), X2 : nombre de clients le lendemain. Somme : X1 + X2.

Vrai ou faux : la somme de deux variables corrélées est prévisible.

Faux. La somme peut varier selon les fluctuations des deux variables.

Quelle est la variance de la somme ?

Si X1 et X2 sont indépendantes, Var(X1 + X2) = Var(X1) + Var(X2).

Complétez : E(X1 + X2) = ...

E(X1) + E(X2)

Exemple avec un loyer :

Loyer du mois 1 : 800€, mois 2 : 750€. Somme = 800 + 750 = 1550€.

Quel est l'effet d'une variable aléatoire sur une somme ?

L'ajout d'une variable peut augmenter ou diminuer la somme totale selon sa valeur.

Que se passe-t-il avec deux variables identiquement distribuées ?

La somme suit une distribution qui peut être plus centrée autour de la moyenne des deux.

Exercice : Y1 = 7, Y2 = 3, Y3 = 4, quel est Y1 + Y2 + Y3 ?

Y1 + Y2 + Y3 = 7 + 3 + 4 = 14.

Vrai ou faux : la somme de trois variables est toujours plus grande que chaque variable.

Faux. Cela dépend des valeurs individuelles des variables.

Données : X1 = 12, X2 = 8. Calculez : X1 + X2.

X1 + X2 = 12 + 8 = 20.

Que signifie la somme de variables aléatoires dans un trajet ?

Cela représente la distance totale parcourue. Par exemple, 5 km le matin et 10 km l'après-midi, somme = 15 km.

Somme de deux variables aléatoires continues ?

Si $\displaystyle X$ et $\displaystyle Y$ sont deux variables continues, alors $\displaystyle Z = X + Y$ est aussi continue.

Vrai ou faux : la somme de deux normales est normale.

Vrai. La somme de deux variables aléatoires normales est encore une variable normale.

Si $\displaystyle X$ et $\displaystyle Y$ sont indépendants, quel est $\displaystyle E(X + Y)$ ?

$\displaystyle E(X + Y) = E(X) + E(Y)$, où $\displaystyle E$ est l'espérance.

Exemple d'une somme continue : temps de trajet.

Si $\displaystyle T_1$ est le temps d'aller au travail et $\displaystyle T_2$ le retour, alors $\displaystyle T = T_1 + T_2$.

Calculez $\displaystyle E(X + Y)$ si $\displaystyle E(X) = 4$ et $\displaystyle E(Y) = 6$.

$\displaystyle E(X + Y) = 4 + 6 = 10$.

Somme de deux variables : effet sur la variance.

Si $\displaystyle X$ et $\displaystyle Y$ sont indépendantes, alors $\displaystyle Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)$.

Vrai ou faux : la somme de variables normales a toujours la même moyenne.

Faux. La moyenne de la somme est la somme des moyennes.

Complétez : la somme de variables indépendantes a une ____________.

distributions bien définie.

Comparaison : somme de deux normales vs somme de deux exponentielles.

La somme de deux normales est normale, la somme de deux exponentielles suit une loi gamma.

Exemple pratique : revenus mensuels cumulés.

Si $\displaystyle R_1$ est le revenu du mois 1 et $\displaystyle R_2$ celui du mois 2, alors $\displaystyle R_{total} = R_1 + R_2$.

Quel est $\displaystyle E(Z)$ si $\displaystyle Z = X + Y$ et $\displaystyle E(X)=5$, $\displaystyle E(Y)=3$ ?

$\displaystyle E(Z) = E(X) + E(Y) = 5 + 3 = 8$.

Variance de la somme : $\displaystyle Var(X + Y)$ ?

Pour $\displaystyle X$ et $\displaystyle Y$ indépendants, $\displaystyle Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)$.

Somme des salaires de 3 employés

Si un employé gagne 1200€, un autre 1500€ et un dernier 1800€, la somme est : 1200 + 1500 + 1800 = 4500€.

Vrai ou faux : On peut additionner des distances.

Vrai. On peut additionner des distances pour calculer le trajet total. Par exemple, 5 km + 3 km = 8 km.

Quel est le coût total de 4 articles à 15€ chacun ?

Le coût total est : 4 * 15€ = 60€.

Remplir le blanc : La somme des dépenses mensuelles est de ____ €.

Si les dépenses sont 300€, 450€, et 250€, alors : 300 + 450 + 250 = 1000€.

Quelle est la somme de 2 trajets, 12 km et 15 km ?

La somme est 12 km + 15 km = 27 km.

Comparaison : Coût d'un abonnement mensuel vs annuel

Mensuel : 30€, Annuel : 300€. Annuel = 12 * 30€ = 360€. Donc, annuel est moins cher.

Si 3 restaurants ont des notes de 4, 5 et 3 étoiles, quelle est la somme ?

La somme des notes est 4 + 5 + 3 = 12 étoiles.

Vrai ou faux : La somme de 0.5 et 0.7 est 1.2.

Vrai. 0.5 + 0.7 = 1.2.

Quel est le total des factures : 50€, 75€, 25€ ?

Le total est : 50€ + 75€ + 25€ = 150€.

Exemple : Somme de deux temps : 1h30 et 2h15.

Convertir : 1h30 = 90 min, 2h15 = 135 min. Somme : 90 + 135 = 225 min, soit 3h45.

Quel est le montant total de 5 livres à 12€ ?

Total : 5 * 12€ = 60€.

Cause : Augmentation des salaires → Effet ?

Effet : Augmentation du pouvoir d'achat des employés.