Raisonnement par récurrence à retenir

Principe de base du raisonnement par récurrence

1. Initialisation : Vérifier pour n=0 ou n=1. 2. Hérédité : Supposer vrai pour n=k et prouver pour n=k+1.

Vrai ou faux : L'initialisation est facultative.

Faux, l'initialisation est essentielle pour démarrer le raisonnement.

Exemple d'initialisation : Somme des premiers entiers

Pour n=1, $\displaystyle S(1) = 1$. Cela vérifie la formule $\displaystyle S(n) = \\frac{n(n+1)}{2}$.

Hérédité dans la récurrence

On suppose vrai pour n=k, puis prouve pour n=k+1. Ex: $\displaystyle S(k) = \\frac{k(k+1)}{2}$ implique $\displaystyle S(k+1) = \\frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

Vrai ou faux : La récurrence ne s'applique qu'aux entiers.

Vrai, le raisonnement par récurrence est spécifique aux suites d'entiers.

Remplissez le blanc : Pour prouver $\displaystyle P(n)$, on montre d'abord _______.

l'initialisation pour n=0 ou n=1.

Principe d'Akkerman

Permet de prouver que $\displaystyle f(n) = n^2$ est vrai pour tous les n entiers positifs.

Exemple : Calcul de $\displaystyle 2^n$ par récurrence

1. Pour n=0 : $\displaystyle 2^0 = 1$. 2. Supposons vrai pour n=k : $\displaystyle 2^k$. 3. Pour n=k+1 : $\displaystyle 2^{k+1} = 2 imes 2^k$.

Vrai ou faux : On peut sauter l'étape d'hérédité.

Faux, chaque étape doit être vérifiée pour assurer la validité.

Exemple simple : Suite de Fibonacci

Prouver que $\displaystyle F(n) = F(n-1) + F(n-2)$ pour $\displaystyle n \geq 2$. Initialiser : $\displaystyle F(0)=0$, $\displaystyle F(1)=1$.

Comparaison : Récurrence vs. Induction

Récurrence : prouve pour chaque n. Induction : prouve pour des cas spécifiques.

Quel est le résultat de $\displaystyle S(3)$ dans la somme ?

Pour $\displaystyle n=3$, $\displaystyle S(3) = \\frac{3(3+1)}{2} = 6$.

Utilité de la récurrence

Démontre des propriétés de suites, formules, et même des inégalités.

Principe de récurrence forte

On peut supposer vrai pour plusieurs cas précédents, pas seulement le précédent.

Question : Quel est l'intérêt de prouver par récurrence ?

Assure que la propriété est vraie pour tous les n, pas seulement pour quelques cas.

Énoncé des sommes de puissances

Pour n entier : $\displaystyle S(n) = 1^p + 2^p + ... + n^p$ est prouvé par récurrence.

Un magasin augmente ses prix de 5% chaque année.

Après n années, le prix est: P_n = P_0 imes (1,05)^n.

Vrai ou faux : les loyers augmentent toujours de 2% par an.

Faux. Ils peuvent rester constants certaines années.

Calculer le coût total d'un trajet de 50 km.

Coût total = distance × prix/km = 50 × 0,15 € = 7,50 €.

Si un salaire augmente de 3% chaque année, quel est le salaire après 5 ans?

S_5 = S_0 imes (1,03)^5. Par exemple, 2000 € initial devient 2314,49 €.

Remplissez le blanc : Loyer après 3 ans = Loyer initial × (1 + ___ )^3.

Loyer après 3 ans = Loyer initial × (1 + 0,02)^3.

Comparer : augmentation de prix de 2% ou de 3%.

Après 1 an, 100 € devient 102 € ou 103 €. Choisir 3% pour plus.

Quel est l'effet d'une augmentation de 1,5% du prix sur un mois?

Prix final = Prix initial × 1,015. Pour 200 € : 203 €.

Un abonnement augmente de 4% par an. Quel sera-t-il après 4 ans?

A_4 = A_0 imes (1,04)^4 = A_0 imes 1,1699.

Vrai ou faux : les coûts de transport sont toujours linéaires.

Faux. Ils peuvent être proportionnels, mais des frais fixes peuvent s'ajouter.

Calculez le prix après 2 ans d'un produit à 100 € avec 10% de réduction chaque année.

Prix_1 = 100 - 10 = 90 €. Prix_2 = 90 - 9 = 81 €.

Un produit coûte 150 €. Quel sera le prix en 3 ans avec 5% par an?

P_3 = 150 imes (1,05)^3 = 150 imes 1,157625 = 173,64 €.

Si un tarif de service augmente de 6% par an, quel tarif après 2 ans?

T_2 = T_0 imes (1,06)^2. Par exemple, 100 € devient 106 €.

Une économie de 50 € tous les mois pendant 12 mois donne:

Total épargné = 50 € × 12 = 600 €.

Vrai ou faux : le coût d'un abonnement est fixe chaque année.

Faux. Il peut varier selon les augmentations annuelles.

Combien coûte un loyer de 800 € après 4 ans avec 2% d'augmentation?

Loyer final = 800 × (1,02)^4 = 800 × 1,08243216 = 865,94 €.

Un abonnement de transport coûte 100 € la première année, augmente de 5% chaque année. Quel est le coût après 3 ans ?

Coût après 3 ans = 100 × (1 + 0.05)^3 = 100 × 1.157625 ≈ 115.76 €. - 1ère année : 100 € - 2ème année : 105 € - 3ème année : 110.25 € - Total = 115.76 €