Intégrale et calcul d'aire à retenir

Calcul d'aire sous une courbe ?

L'intégrale définie permet de calculer l'aire sous la courbe de $\displaystyle f(x)$ entre $\displaystyle a$ et $\displaystyle b$: $\displaystyle A = \forall x ext{ de } [a,b], ext{ int } f(x)dx$.

Trois applications pratiques des intégrales définies.

- Calcul des aires - Évaluation de volumes - Analyse de profits

Vrai ou faux : L'intégrale définit l'aire au-dessus de l'axe des abscisses.

Faux. L'intégrale représente l'aire entre la courbe et l'axe, qui peut être au-dessus ou en dessous.

Situation : un magasin vend des articles à 15€ chacun. Quelle intégrale pour le revenu de 10 à 50 articles?

Revenu = $\displaystyle R = \forall x ext{ de } [10,50], 15 imes x dx = 15 imes (50 - 10)$.

Comparaison : Aire sous $\displaystyle f(x)$ et entre $\displaystyle f(x)$ et $\displaystyle g(x)$ ?

Aire sous $\displaystyle f(x)$ : $\displaystyle A_1 = \forall x ext{ de } [a,b], f(x) dx$. Aire entre $\displaystyle f(x)$ et $\displaystyle g(x)$ : $\displaystyle A_2 = \forall x ext{ de } [a,b], (f(x) - g(x)) dx$.

Remplir le blanc : L'intégrale de $\displaystyle f(x) = x^2$ entre 0 et 3 est ____.

L'intégrale est $\displaystyle A = \frac{3^3}{3} = 9$.

Exemple pratique : Calculer l'aire entre $\displaystyle y = x$ et $\displaystyle y = x^2$ de 0 à 1.

Aire = $\displaystyle A = \forall x ext{ de } [0,1], (x - x^2) dx = \frac{1}{6}$.

Quelle méthode pour déterminer l'aire entre deux courbes ?

Aire = $\displaystyle A = \forall x ext{ de } [a,b], (f(x) - g(x)) dx$, où $\displaystyle f(x) ext{ est supérieur à } g(x)$.

Vrai ou faux : L'intégrale permet de prédire les bénéfices.

Vrai. Elle peut estimer les gains en intégrant la fonction de bénéfice sur une période.

Situation réelle : Trajet en voiture à 80 km/h. Quelle intégrale pour le temps sur 120 km ?

Temps = $\displaystyle T = \forall t ext{ de } [0,120], \frac{120}{80} dt = 1,5 ext{ heures}$.

Pour un loyer mensuel de 800€, quelle intégrale pour un an ?

Loyer annuel = $\displaystyle L = \forall t ext{ de } [0,12], 800 dt = 9600€.$

Calcul d'aire pour $\displaystyle f(x)=3x+1$ entre 1 et 2 ?

Aire = $\displaystyle A = \forall x ext{ de } [1,2], (3x + 1) dx = 6$.

Vrai ou faux : L'intégrale d'une constante est une droite.

Vrai. L'intégrale d'une constante $\displaystyle k$ est $\displaystyle kx + C$.

Aire sous $\displaystyle f(x)=sin(x)$ de 0 à \displaystyle \frac{\frac{ ext{π}}{2}} ?

Aire = $\displaystyle A = \forall x ext{ de } [0,\frac{ ext{π}}{2}], sin(x) dx = 1$.

Remplir le blanc : L'intégrale de $\displaystyle 2x$ de 0 à 3 est ____.

L'intégrale est $\displaystyle A = 9$.

Situation : Un salarié gagne 2000€/mois. Quelle intégrale pour son salaire sur 6 mois ?

Salaire = $\displaystyle S = \forall t ext{ de } [0,6], 2000 dt = 12000€.$

Comment calculer l'aire sous la courbe d'une fonction ?

On utilise l'intégrale définie : $\displaystyle A = \\int_a^b f(x) \, dx$.

Vrai ou faux : L'aire entre deux courbes est positive.

Faux. L'aire peut être négative si $\displaystyle f(x) < g(x)$ sur l'intervalle.

Aire entre $\displaystyle y = x^2$ et $\displaystyle y = x$ de 0 à 1 ?

Calcul : $\displaystyle A = \\int_0^1 (x - x^2) \, dx = \\\frac{1}{6}$.

Quel est le rôle des points d'intersection ?

Ils déterminent les bornes d'intégration pour l'aire entre deux courbes.

Remplissez le blanc : Aire sous la courbe $\displaystyle y = 3x^2$ de 0 à 2 est ...

$\displaystyle A = \\int_0^2 3x^2 \, dx = 8$.

Comparer aire sous $\displaystyle y = x^2$ et $\displaystyle y = 2x$ de 0 à 1.

Aire sous $\displaystyle y = x^2$ est $\displaystyle \\\frac{1}{3}$; sous $\displaystyle y = 2x$ est $\displaystyle 1$.

Problème : Trajet en vélo, vitesse $\displaystyle y = 15 - 2x$ km/h.

Aire de 0 à 5 h : $\displaystyle A = \\int_0^5 (15 - 2x) \, dx = 37.5$ km.

Vrai ou faux : L'aire entre $\displaystyle y = x^3$ et $\displaystyle y = 0$ de 0 à 1 est 0.

Faux. L'aire est $\displaystyle \\\frac{1}{4}$.

Aire entre $\displaystyle y = \frac{1}{x}$ et l'axe des x de 1 à 2 ?

$\displaystyle A = \\int_1^2 \\\frac{1}{x} \, dx = \\ln(2)$.

Comment interpréter une intégrale négative ?

Cela signifie que la courbe est en dessous de l'axe des x.

Exemple concret : Loyer en fonction du temps, $\displaystyle L(t) = 800 + 50t$.

Aire entre 0 et 6 mois : $\displaystyle A = \\int_0^6 (800 + 50t) \, dt = 5,400$ euros.

Aire entre $\displaystyle y = e^x$ et $\displaystyle y = x$ de 0 à 1 ?

On résout $\displaystyle A = \\int_0^1 (e^x - x) \, dx$.

Vrai ou faux : Une fonction croissante a une aire positive.

Faux. L'aire dépend de la comparaison des fonctions.

Trouver l'aire entre $\displaystyle y = \frac{1}{2}x^2$ et $\displaystyle y = x$ de 0 à 2.

$\displaystyle A = \\int_0^2 (x - \frac{1}{2}x^2) \, dx = \\\frac{4}{3}$.

Calculer l'aire sous $\displaystyle y = 4 - x^2$ de -2 à 2.

$\displaystyle A = \\int_{-2}^2 (4 - x^2) \, dx = \\\frac{32}{3}$.

Calculer l'aire entre $\displaystyle y = x$ et $\displaystyle y = 2x$ de 0 à 1 ?

1. Points d'intersection : $\displaystyle x = 0$ et $\displaystyle x = 1$. 2. Aire = $\displaystyle ext{Aire}_1 - ext{Aire}_2$. 3. $\displaystyle ext{Aire} = \frac{1}{2} imes 1 imes 1 - \frac{1}{2} imes 1 imes 2 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$. 4. Résultat positif : 0,5.