Fiche de révision : Suite arithmético-géométrique population

La population d'une ville augmente de 200 chaque année.

Si la population initiale est de 10 000, après 5 ans, elle sera de 10 000 + 5 × 200 = 11 000.

Vrai ou faux : Les suites arithmético-géométriques modélisent une croissance exponentielle.

Faux : Elles modélisent une croissance linéaire suivie d'une multiplication géométrique.

Si une population est de 1 500 et augmente de 3% chaque année, calculez la population après 3 ans.

Utilisant $\displaystyle P_n = P_0(1 + r)^n$, on trouve $\displaystyle P_3 = 1500(1 + 0.03)^3 \approx 1643$.

Complétez : Après 10 ans, une population initiale de 8 000 avec une augmentation de 250 par an sera de ____.

8 000 + 10 × 250 = 10 000.

Comparaison : Croissance arithmétique vs géométrique.

- Arithmétique : Ajout constant, ex : 200/an. - Géométrique : Pourcentage, ex : 3%/an.

Une ville a 2 000 habitants, augmentant de 5% par an. Population après 2 ans ?

$\displaystyle P_2 = 2000(1 + 0.05)^2 \approx 2205$.

Vrai ou faux : Si la population double chaque année, c'est une suite arithmético-géométrique.

Faux : C'est une suite géométrique car elle double, pas une addition constante.

Si une ville a 50 000 habitants et que chaque année, 1 000 naissances et 500 décès se produisent.

La croissance annuelle est de 1 000 - 500 = 500. Après 10 ans, la population sera 50 000 + 10 × 500 = 55 000.

Calculer la population après 4 ans pour 3% d'augmentation annuelle à 20 000.

$\displaystyle P_4 = 20000(1 + 0.03)^4 \approx 22 413$.

Un village de 1000 habitants croît de 20%. Quelle sera sa population après 5 ans ?

$\displaystyle P_5 = 1000(1 + 0.20)^5 \approx 2 488$.

Vrai ou faux : La formule de population peut être $\displaystyle P_n = P_0 + d imes n$.

Vrai : Où $\displaystyle d$ est l'augmentation annuelle constante.

Si une population de 1 200 augmente de 10% chaque année, quel est le nombre après 1 an ?

$\displaystyle P_1 = 1200(1 + 0.10) = 1 320.$

Qu'est-ce qu'une suite arithmético-géométrique?

C'est une suite où chaque terme est obtenu en ajoutant une constante à un produit d'un terme précédent et d'une constante, utile pour modéliser des intérêts composés.

Un prêt de 1 000 € à 3% d'intérêt annuel est remboursé sur 5 ans. Quel est le montant final?

Montant final : $E = 1000 imes (1 + 0,03)^5 ightarrow 1 159,27 €.

Vrai ou faux : Les suites arithmético-géométriques ne peuvent pas modéliser des prêts.

Faux. Elles peuvent modéliser les remboursements en fonction des intérêts.

Complétez : Si un investissement de 2 000 € augmente de 5% par an, la suite est...

...arithmético-géométrique avec $\displaystyle a_n = 2000 imes (1 + 0,05)^n$.

Comparaison : Intérêt simple vs intérêt composé.

Intérêt simple : $\displaystyle I = P imes r imes t$. Intérêt composé : $\displaystyle A = P imes (1 + r)^n$.

Vous investissez 500 € avec un rendement de 4% chaque année. Quelle est la valeur au bout de 3 ans?

Valeur : $E = 500 imes (1 + 0,04)^3 ightarrow 562,43 €.

Quel est l'effet d'une augmentation du taux d'intérêt sur un investissement?

Une augmentation du taux d'intérêt augmente le montant final grâce à l'effet de la capitalisation.

Calculez le montant remboursé après 4 ans pour un prêt de 1 200 € à 6% d'intérêt.

Montant remboursé : $E = 1200 imes (1 + 0,06)^4 ightarrow 1 510,61 €.

Vrai ou faux : Une suite arithmético-géométrique est toujours croissante.

Faux. Cela dépend des paramètres de la suite.

Complétez : Pour un emprunt de 1 000 € à 5% sur 3 ans, le remboursement total est...

...$E = 1000 imes (1 + 0,05)^3 ightarrow 1 157,63 €.

Quelle est la formule pour le calcul d'une suite arithmético-géométrique?

Formule : $\displaystyle a_n = r imes a_{n-1} + d$ où $\displaystyle r$ est le taux et $\displaystyle d$ la constante.

Quel impact a un remboursement anticipé sur un prêt?

Cela peut réduire le montant total des intérêts à payer, diminuant ainsi le coût total du prêt.