Exponentielle et décroissance radioactive

Quelle est la forme générale d'une fonction exponentielle ?

La forme générale est $\displaystyle f(x) = a imes b^x$ où $\displaystyle a > 0$ et $\displaystyle b > 1$.

Vrai ou faux : La fonction exponentielle est toujours croissante.

Vrai. Pour $\displaystyle b > 1$, la fonction $\displaystyle f(x) = a imes b^x$ est croissante sur $\displaystyle \forall x$.

Complétez : $\displaystyle 2^3 = ...$

8. On calcule $\displaystyle 2 imes 2 imes 2 = 8$.

Quel est le résultat de $\displaystyle f(0)$ si $\displaystyle f(x) = 5 imes 3^x$ ?

On a $\displaystyle f(0) = 5 imes 3^0 = 5$.

Comment évolue la fonction $\displaystyle f(x) = 2^x$ pour $\displaystyle x < 0$ ?

Elle décroît. Par exemple, $\displaystyle f(-1) = \frac{1}{2}$.

Vrai ou faux : $\displaystyle f(x) = 4^x$ passe par le point (0,4).

Faux. Elle passe par (0,1) car $\displaystyle f(0) = 4^0 = 1$.

Que représente le coefficient $\displaystyle a$ dans $\displaystyle f(x) = a imes b^x$ ?

$\displaystyle a$ représente l'ordonnée à l'origine. Si $\displaystyle a = 1$, la courbe passe par (0,1).

Calculez $\displaystyle f(2)$ pour $\displaystyle f(x) = 3 imes 2^x$.

$\displaystyle f(2) = 3 imes 2^2 = 3 imes 4 = 12.$

Comparaison : $\displaystyle f_1(x) = 3^x$ et $\displaystyle f_2(x) = 2^x$.

Pour $\displaystyle x > 0$, $\displaystyle f_1(x) > f_2(x)$ car $\displaystyle 3 > 2$. Pour $\displaystyle x < 0$, $\displaystyle f_1(x) < f_2(x)$.

Si $\displaystyle f(x) = 5 imes 2^x$, que se passe-t-il quand $\displaystyle x$ augmente ?

La fonction augmente rapidement. Par exemple, $\displaystyle f(3) = 5 imes 8 = 40$.

Que se passe-t-il pour $\displaystyle f(- ext{infini})$ dans $\displaystyle f(x) = a imes b^x$ ?

Elle tend vers 0. La courbe approche l'axe des abscisses.

Complétez : La fonction $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2^x}$ est ...

Décroissante car $\displaystyle b < 1$.

Quel est l'impact d'augmenter $\displaystyle b$ dans $\displaystyle f(x) = a imes b^x$ ?

La fonction croît plus rapidement, la pente augmente.

Que signifie $\displaystyle b^x$ lorsque $\displaystyle x$ est un nombre négatif ?

Cela représente une fraction, par exemple $\displaystyle 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Calculez $\displaystyle f(1)$ pour $\displaystyle f(x) = 7 imes 3^x$.

$\displaystyle f(1) = 7 imes 3^1 = 21.$

Vrai ou faux : $\displaystyle f(x) = e^x$ est une fonction exponentielle.

Vrai. C'est une fonction exponentielle avec $\displaystyle b = e$.

Qu'est-ce que la décroissance radioactive ?

C'est un processus où un isotope instable perd de l'énergie en émettant des radiations. Exemples : carbone-14, uranium-238.

Quel est le symbole de la période radioactive ?

Le symbole est $\displaystyle T_{1/2}$, représentant le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux d'un échantillon se désintègrent.

Vrai ou faux : la décroissance radioactive est linéaire.

Faux. La décroissance radioactive suit une loi exponentielle.

Complétez : Après 1 période, il reste ______ de l'échantillon initial.

50% de l'échantillon initial.

Exemple pratique de la décroissance : Radon-222.

Utilisé pour vérifier la qualité de l'air. Période : 3,8 jours.

Comment calcule-t-on la quantité restante après 3 périodes ?

Si quantité initiale = 100g, alors après 3 périodes : $\displaystyle 100 imes \frac{1}{2^3} = 12,5g$.

Quelle est l'unité de mesure de l'activité radioactive ?

Becquerel (Bq), qui correspond à une désintégration par seconde.

Vrai ou faux : Tous les isotopes ont la même période radioactive.

Faux. Chaque isotope a sa propre période, par exemple, le carbone-14 a 5730 ans.

Quelle est la relation entre période et activité ?

Plus la période est longue, plus l'activité est faible.

Qu'est-ce que la constante de décroissance ?

C'est un chiffre qui indique la vitesse de la décroissance. Notée $\displaystyle \beta$.

Complétez : Après 2 périodes, il reste ______.

25% de l'échantillon initial.

Énumérez deux applications de la décroissance radioactive.

- Datation au carbone-14 - Médecine nucléaire

Comment la décroissance radioactive affecte-t-elle les datations ?

Elle permet de déterminer l'âge des matériaux en mesurant la quantité d'isotopes restants.

Qu'est-ce qui influence la période d'un isotope ?

Sa structure nucléaire et ses interactions fondamentales.

Exemple : Radioactivité du potassium-40.

Période : 1,25 milliard d'années. Utilisé en géologie pour dater des roches.

Vrai ou faux : La température affecte la décroissance radioactive.

Faux. La décroissance est indépendante de la température.