Bac : Suites et placements à intérêts composés

Suite arithmétique : exemple concret.

Un magasin offre une remise de 5 € chaque semaine pendant 10 semaines. Montant total de la remise ? Calcul : $\displaystyle S_n = 5 + (n - 1) imes 5$ pour $\displaystyle n = 10$. Résultat : 250 €.

Vrai ou faux : Une suite géométrique a une différence constante.

Faux. Une suite géométrique a un rapport constant entre les termes consécutifs, pas une différence.

Complétez : Le terme général d'une suite arithmétique est ...

... donné par $\displaystyle U_n = U_0 + n imes r$, où $\displaystyle r$ est la raison.

Calculez le 5e terme d'une suite arithmétique.

Si $\displaystyle U_0 = 10$ et $\displaystyle r = 3$ : $\displaystyle U_5 = 10 + 5 imes 3 = 25$.

Exemple de suite géométrique : calcul des termes.

Un investissement de 1000 € avec un taux d'intérêt de 5 % par an. Calcul : $\displaystyle U_n = U_0 imes (1 + r)^n$ donc $\displaystyle U_1 = 1000 imes 1.05$.

Vrai ou faux : Les suites arithmétiques peuvent décroître.

Vrai. Si la raison $\displaystyle r$ est négative, la suite peut décroître.

Comparez les suites arithmétique et géométrique.

Arithmétique : ajoute une constante. Géométrique : multiplie par un facteur constant.

Calculez la somme des 10 premiers termes d'une suite arithmétique.

Si $\displaystyle U_0 = 2$, $\displaystyle r = 4$ : Somme $\displaystyle S_n = \frac{n}{2} imes (U_0 + U_n)$, ici $\displaystyle U_{10} = 2 + 9 imes 4 = 38$. Résultat : 200.

Si $\displaystyle U_0 = 16$ et $\displaystyle r = 2$, quel est $\displaystyle U_3$ ?

$\displaystyle U_3 = 16 + 3 imes 2 = 22$.

Un étudiant reçoit 100 € le premier mois et 10 € de plus chaque mois. Quelle suite?

C'est une suite arithmétique avec $\displaystyle U_0 = 100$ et $\displaystyle r = 10$.

Calculez le 4e terme d'une suite géométrique avec $\displaystyle U_0 = 3$, $\displaystyle q = 2$.

$\displaystyle U_4 = 3 imes 2^3 = 24$.

Complétez : La somme des $\displaystyle n$ premiers termes d'une suite géométrique est ...

... donnée par $\displaystyle S_n = U_0 \frac{1 - q^n}{1 - q}$ si $q eq 1$.

Quel est l'intérêt composé sur 1000€ à 5% en 3 ans ?

Formule : $\displaystyle A = P(1 + r)^n$ avec $\displaystyle P=1000$, $\displaystyle r=0.05$, $\displaystyle n=3$. \ Calcul : $A = 1000(1 + 0.05)^3 = 1157.63€.

Vrai ou faux : L'intérêt composé augmente plus qu'un intérêt simple.

Vrai. \ L'intérêt composé génère des intérêts sur les intérêts, contrairement à l'intérêt simple.

Quelle est la formule de l'intérêt composé ?

$\displaystyle A = P(1 + r)^n$ où : \ $\displaystyle A$ : montant total \ $\displaystyle P$ : capital initial \ $\displaystyle r$ : taux d'intérêt \ $\displaystyle n$ : nombre d'années.

Calculez l'intérêt gagné sur 2000€ à 4% sur 5 ans.

Montant final : $A = 2000(1 + 0.04)^5 = 2000(1.21665) = 2433.29€ \ Intérêt gagné : 2433.29€ - 2000€ = 433.29€.

Complétez : Avec un placement de 1500€ à 6% pendant 2 ans, le total est ...

$A = 1500(1 + 0.06)^2 = 1500(1.1236) = 1685.40€.

Comparez l'intérêt composé et simple sur 1000€ à 3% sur 2 ans.

Intérêt simple : $\displaystyle 1000 * 0.03 * 2 = 60€ \ Intérêt composé :$A = 1000(1 + 0.03)^2 = 1060.90€ \ Intérêt : 60.90€.

Si vous investissez 5000€ à 5% pendant 10 ans, quel sera le montant final ?

$A = 5000(1 + 0.05)^{10} = 5000(1.62889) = 8144.47€.

Vrai ou faux : Plus le taux est élevé, moins l'intérêt composé est bénéfique.

Faux. \ Un taux plus élevé augmente les intérêts composés.

Calculez le capital nécessaire pour avoir 10 000€ après 5 ans à 4%.

$P = \frac{A}{(1 + r)^n} = \frac{10000}{(1 + 0.04)^5} = 10000/1.21665 = 8219.32€.

À quel montant final aboutit 3000€ à 7% sur 4 ans ?

$A = 3000(1 + 0.07)^4 = 3000(1.31080) = 3932.41€.

Complétez : Après 3 ans, un placement de 800€ à 2% devient ...

$A = 800(1 + 0.02)^3 = 800(1.061208) = 848.97€.

Quel est l'effet d'un placement de 1000€ à 10% sur 6 ans ?

$A = 1000(1 + 0.10)^6 = 1000(1.771561) = 1771.56€. \ Intérêt : 771.56€.