Matura matematyka – Równania wykładnicze

Równanie wykładnicze

Równanie postaci $\displaystyle a^x = b$, gdzie $\displaystyle a > 0$, $a eq 1$\displaystyle ,$b > 0$.

Podstawowa własność logarytmu

$\displaystyle ext{log}_a(b) = c$ oznacza $\displaystyle a^c = b$.

Wykładnik w równaniu wykładniczym

Równania wykładnicze mają postać, w której zmienna znajduje się w wykładniku.

Przykład równania wykładniczego

Rozwiąż $\displaystyle 2^x = 16$. Odpowiedź: $\displaystyle x = 4$.

Własność $\displaystyle a^m imes a^n$

Równanie $\displaystyle a^m imes a^n = a^{m+n}$ jest prawdziwe.

Równanie $\displaystyle 3^{2x} = 81$

Można przekształcić do $\displaystyle 2x = 4$, co daje $\displaystyle x = 2$.

Zastosowanie równań wykładniczych

Służą do modelowania wzrostu i spadku, np. w biologii czy ekonomii.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle a^0 = 1$

Prawda, ponieważ każdy podniesiony do zerowej potęgi daje 1.

Rozwiązanie $\displaystyle 5^x = 25$

Zauważ, że $\displaystyle 25 = 5^2$, więc $\displaystyle x = 2$.

Równanie $\displaystyle a^x = a^y$

Z tego wynika, że $\displaystyle x = y$, gdy $\displaystyle a > 0$ i $a eq 1$.

Logarytm naturalny

Logarytm o podstawie $\displaystyle e$, oznaczany jako $\displaystyle ext{ln}(x)$.

Odwrotność funkcji wykładniczej

Funkcją odwrotną do funkcji $\displaystyle f(x) = a^x$ jest $\displaystyle f^{-1}(x) = ext{log}_a(x)$.

Równania z różnymi podstawami

Porównuj wykładniki po przekształceniu do tej samej podstawy.

Zasada przekształcania

Można przekształcać równania wykładnicze do formy logarytmicznej.

Uzupełnij zdanie: \displaystyle a^{x+y} = ___

$\displaystyle a^x imes a^y$.

Równanie $\displaystyle 2^{x+1} = 8$

Przekształć do $\displaystyle 2^{x+1} = 2^3$, więc $\displaystyle x+1=3$, a $\displaystyle x=2$.

Zastosowanie wykładniczego wzrostu

Modelowanie populacji, wzrostu kapitału, radioaktywności.

Równanie $\displaystyle e^x = 10$

Rozwiązanie: $\displaystyle x = ext{ln}(10)$.

Funkcja wykładnicza

Funkcja postaci $\displaystyle f(x) = a^x$, gdzie $\displaystyle a > 0$, $a eq 1$.

Równanie $\displaystyle 10^{2x} = 100$

Można zapisać jako $\displaystyle 10^{2x} = 10^2$, więc $\displaystyle 2x = 2$, a $\displaystyle x = 1$.

Porównanie funkcji wykładniczej i liniowej

Funkcja wykładnicza rośnie szybciej niż liniowa dla dużych wartości x.

Równanie $\displaystyle 4^x = 16$

$\displaystyle 16 = 4^2$, więc $\displaystyle x = 2$.

Prawda czy fałsz: $\displaystyle a^{-x} = \frac{1}{a^x}$

Prawda, ponieważ zmiana znaku w wykładniku daje odwrotność.

Równanie $\displaystyle 3^x + 3^{x-1} = 12$

Przekształć do $\displaystyle 3^{x-1}(3 + 1) = 12$, co daje $\displaystyle x = 3$.

Logarytmy a równania wykładnicze

Logarytmy mogą pomóc w przekształcaniu równań wykładniczych do prostszej formy.

Definicja wykładnika ułamkowego

Wykładnik ułamkowy oznacza pierwiastek, np. $\displaystyle a^{\frac{1}{n}} = ext{n-ty pierwiastek}(a)$.

Równanie $\displaystyle 2^{x+1} = 2^3$

Rozwiąż, $\displaystyle x + 1 = 3$, więc $\displaystyle x = 2$.

Prawda czy fałsz: Funkcja wykładnicza jest malejąca dla $\displaystyle 0 < a < 1$

Prawda, funkcja maleje, gdy podstawa jest mniejsza od 1.