Matura matematyka – Liczby rzeczywiste i działania

Liczby całkowite

Zbiór liczb opisujący wszystkie liczby całkowite, dodatnie, ujemne i zero: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Co to jest liczba wymierna?

Liczba, którą można przedstawić jako stosunek dwóch liczb całkowitych: $\displaystyle \frac{a}{b}$, gdzie $b eq 0$.

Co to jest liczba niewymierna?

Liczba, której nie można zapisać jako $\displaystyle \frac{a}{b}$. Przykład: $\displaystyle ext{√2}$.

Zbiór liczb rzeczywistych

Zbiór, który obejmuje wszystkie liczby całkowite, wymierne i niewymierne.

Właściwości liczb rzeczywistych

- Zbiór uporządkowany - Zbiór dany w gęstości - Każda liczba ma rozwinięcie dziesiętne

Prawda czy fałsz: $\displaystyle 2.5$ jest liczbą całkowitą.

Fałsz, ponieważ liczba całkowita nie zawiera części dziesiętnych.

Uzupełnij zdanie: Liczby rzeczywiste dzielą się na ___ i ___

liczby wymierne i liczby niewymierne.

Przykład liczby niewymiernej

Liczba $\displaystyle ext{π} ightarrow 3.14159...$, nie można jej dokładnie zapisać jako ułamek.

Jakie działania można wykonać na liczbach rzeczywistych?

Można wykonywać dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (z wyjątkiem dzielenia przez zero).

Co to jest liczba algebraiczna?

Liczba, która jest rozwiązaniem równania wielomianowego z całkowitymi współczynnikami.

Jakie są przykłady liczb algebraicznych?

$\displaystyle 2, -3, \frac{1}{4}, ext{√4}$ są liczbami algebraicznymi.

Różnica między liczbą całkowitą a wymierną

Liczby całkowite to liczby bez części dziesiętnych, podczas gdy wymierne mają postać $\displaystyle \frac{a}{b}$.

Definicja liczby hiperrealnej

Liczby hiperrealne rozszerzają zbiór liczb rzeczywistych o liczby nieskończone i nieskończenie małe.

Co to jest liczba rzeczywista?

Liczba, która może być reprezentowana na osi liczbowej, obejmująca liczby wymierne i niewymierne.

Własności działania dodawania

- Łączność: $\displaystyle a + (b + c) = (a + b) + c$ - Przemienność: $\displaystyle a + b = b + a$

Co to jest liczba transcendentalna?

Liczba, która nie jest rozwiązaniem żadnego wielomianu o całkowitych współczynnikach. Przykład: $\displaystyle ext{π}$.

Dodawanie liczb rzeczywistych

Operacja, która łączy dwie liczby w jedną. Przykład: $\displaystyle 3 + 5 = 8$.

Odejmowanie liczb rzeczywistych

Operacja, która odnajduje różnicę między dwiema liczbami. Przykład: $\displaystyle 7 - 2 = 5$.

Mnożenie liczb rzeczywistych

Operacja, która mnoży dwie liczby. Przykład: $\displaystyle 4 imes 3 = 12$.

Dzielenie liczb rzeczywistych

Operacja, która dzieli jedną liczbę przez drugą. Przykład: $\displaystyle 10 \frac{1}{2} ÷ 2 = 5$.

Właściwości mnożenia

- Łączność: $\displaystyle a(bc) = (ab)c$ - Przemienność: $\displaystyle ab = ba$

Co to znaczy, że liczby są przeciwne?

Liczby, które mają ten sam moduł, ale różne znaki. Przykład: $\displaystyle 5$ i $\displaystyle -5$.

Różnica między dodawaniem a mnożeniem

Dodawanie łączy liczby, a mnożenie powtarza dodawanie.

Co to jest zera w dodawaniu?

Liczba zero jest elementem neutralnym: $\displaystyle a + 0 = a$.

Wzór na potęgowanie

Potęgowanie to działanie $\displaystyle a^n$, gdzie $\displaystyle a$ jest podstawą, a $\displaystyle n$ wykładnikiem.

Prawda czy fałsz: Mnożenie przez zero daje zawsze zero.

Prawda, ponieważ $\displaystyle a imes 0 = 0$ dla dowolnego $\displaystyle a$.

Wzór na różnicę kwadratów

$\displaystyle a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Dodawanie liczb wymiernych

Aby dodać liczby wymierne, sprowadź je do wspólnego mianownika.

Uzupełnij zdanie: Liczby rzeczywiste są zamknięte na ___

wszystkie cztery podstawowe działania arytmetyczne.

Co to jest suma algebraiczna?

Suma algebraiczna to wynik dodawania wyrażeń algebraicznych, np. $\displaystyle x + 2x = 3x$.

Rola liczby odwrotnej w mnożeniu

Liczba odwrotna $\displaystyle a^{-1}$ spełnia: $\displaystyle a imes a^{-1} = 1$.

Jak obliczamy wartości bezwzględne?

Wartość bezwzględna liczby $\displaystyle a$ to $\displaystyle |a|$, definiowana jako $\displaystyle a$, jeśli $\displaystyle a ext{ ≥ } 0$, w przeciwnym razie $\displaystyle -a$.

Prawda czy fałsz: Liczby niezerowe mają odwrotności.

Prawda, ponieważ dla każdej liczby $a eq 0$\displaystyle istnieje$a^{-1}$.