Wiederholung: Abitur Binomialverteilung Idee

Was beschreibt die Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von Versuchen, bei denen jeder Versuch nur zwei mögliche Ergebnisse hat.

Wann ist ein Experiment binomialverteilt?

Ein Experiment ist binomialverteilt, wenn es eine feste Anzahl von unabhängigen Versuchen gibt, jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist und nur zwei Ergebnisse möglich sind.

Was ist die Formel für die Binomialverteilung?

Die Formel lautet: $\displaystyle P(X = k) = {n \brack k} p^k (1-p)^{n-k}$, wobei $\displaystyle n$ die Anzahl der Versuche und $\displaystyle p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit ist.

Beispiel: 5 Münzwürfe, was ist die Wahrscheinlichkeit für 3 Kopf?

Für 5 Würfe mit $\displaystyle p = 0,5$: $\displaystyle P(X = 3) = {5 \brack 3} (0,5)^3 (0,5)^{2} = 0,3125$.

Was sind Parameter der Binomialverteilung?

Die Parameter sind $\displaystyle n$ (Anzahl der Versuche) und $\displaystyle p$ (Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg pro Versuch).

Eignet sich Binomialverteilung für mehrere Erfolge?

Ja, die Binomialverteilung eignet sich für Experimente, bei denen mehrere Erfolge gezählt werden, z.B. das Ziehen von Kugeln aus einer Urne.

Was ist die Varianz bei Binomialverteilung?

Die Varianz ist $\displaystyle Var(X) = n imes p imes (1-p)$.

Beispiel: 10% Erfolgsquote, 8 Versuche, was ist die Varianz?

Varianz: $\displaystyle Var(X) = 8 imes 0,1 imes 0,9 = 0,72$.

Wie kann man Binomialverteilung grafisch darstellen?

Die Binomialverteilung kann durch ein Säulendiagramm dargestellt werden, wobei die x-Achse die Anzahl der Erfolge und die y-Achse die Wahrscheinlichkeit zeigt.

Was ist die Wahrscheinlichkeit für keinen Erfolg bei 5 Versuchen, p=0,2?

P(X=0) = {5 \brack 0} (0,2)^0 (0,8)^5 = 0,32768.

Wie heißt die Verteilung, wenn $\displaystyle n$ unendlich wird?

Wenn $\displaystyle n$ unendlich wird, nähert sich die Binomialverteilung der Normalverteilung an.

Wann ist die Binomialverteilung eine gute Approximation?

Sie ist eine gute Approximation, wenn $\displaystyle n$ groß und $\displaystyle p$ klein ist.

Was ist ein Beispiel für eine Binomialverteilung im Alltag?

Ein Beispiel ist das Würfeln eines Würfels: Wie oft kommt eine 6 in 10 Würfen?

Was sind die Bedingungen für den Zentralen Grenzwertsatz?

Die Bedingungen sind: Unabhängigkeit der Variablen, identische Verteilung und endliche Varianz.

Kann die Binomialverteilung negative Werte annehmen?

Nein, die Binomialverteilung kann nur Werte von 0 bis $\displaystyle n$ annehmen.

Was bedeutet es, dass ein Ereignis 'unabhängig' ist?

Ein Ereignis ist unabhängig, wenn das Eintreten eines Ergebnisses keinen Einfluss auf das andere Ergebnis hat.

Was ist die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Erfolge bei n=10, p=0,5?

P(X=4) = {10 \brack 4} (0,5)^4 (0,5)^{6} = 0,205078.

Wie berechnet man den Erwartungswert bei Binomialverteilung?

Der Erwartungswert ist $\displaystyle E(X) = n imes p$.