Matura matematyka – Objętość stożka i kuli

Objętość stożka

Objętość stożka obliczamy ze wzoru: $\displaystyle V = \\frac{1}{3} \pi r^2 h$, gdzie $\displaystyle r$ to promień podstawy, a $\displaystyle h$ to wysokość.

Przykład objętości stożka

Dla stożka o promieniu $\displaystyle r = 3$ cm i wysokości $\displaystyle h = 5$ cm, jego objętość wynosi: $\displaystyle V = \\frac{1}{3} \pi (3)^2 (5) = 15\pi \approx 47.12$ cm³.

Prawda czy fałsz: Objętość stożka jest zawsze mniejsza od objętości cylindrycznej o tej samej podstawie.

Prawda, ponieważ objętość stożka jest $\displaystyle \\frac{1}{3}$ objętości cylindra.

Uzupełnij zdanie: Wzór na objętość stożka to ____.

$\displaystyle V = \\frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Czym jest wysokość stożka?

Wysokość stożka to odległość między wierzchołkiem stożka a jego podstawą, mierzona prostopadle.

Różnica między stożkiem a walcem

Stożek ma zwężającą się podstawę, natomiast walec ma podstawę o stałym promieniu.

Jakie jednostki stosujemy do pomiaru objętości?

Objętość wyrażamy w jednostkach sześciennych, np. cm³, m³.

Kiedy stosujemy objętość stożka?

Objętość stożka stosujemy w zadaniach dotyczących brył o stożkowatym kształcie, np. w architekturze.

Czym jest promień podstawy stożka?

Promień podstawy to odległość od środka podstawy do jej krawędzi.

Jak obliczyć wysokość stożka?

Wysokość można obliczyć z wzoru $\displaystyle h = \\frac{3V}{\pi r^2}$, gdy znamy objętość.

Przykład zastosowania wzoru

Obliczając objętość stożka o $\displaystyle r = 2$ m i $\displaystyle h = 4$ m: $\displaystyle V = \\frac{1}{3} \pi (2)^2 (4) = \\frac{16}{3}\pi \approx 16.76$ m³.

Fałsz czy prawda: Wysokość stożka musi być większa od promienia jego podstawy.

Fałsz, wysokość może być mniejsza, równa lub większa od promienia.

Co to jest wierzchołek stożka?

Wierzchołek stożka to punkt, w którym zbiegają się wszystkie krawędzie stożka.

Wzór na objętość stożka prawidłowego

Objętość stożka prawidłowego, gdzie podstawa jest okręgiem, to: $\displaystyle V = \\frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Objętość kuli

Objętość kuli obliczamy ze wzoru: $\displaystyle V = \\frac{4}{3} \pi r^3$, gdzie $\displaystyle r$ to promień kuli.

Przykład obliczenia objętości kuli

Dla kuli o promieniu $\displaystyle r = 5$ cm, objętość wynosi: $\displaystyle V = \\frac{4}{3} \pi (5)^3 = \\frac{500}{3}\pi \approx 523.6$ cm³.

Prawda czy fałsz: Kula ma zawsze tę samą objętość bez względu na kąt.

Prawda, kula ma stałą objętość dla danego promienia.

Uzupełnij zdanie: Kula jest bryłą ____.

Kula jest bryłą o stałym promieniu i symetryczną wokół swojego środka.

Czym jest promień kuli?

Promień kuli to odległość od jej środka do dowolnego punktu na powierzchni.

Różnica między kulą a sferą

Kula to objętość, a sfera to powierzchnia kuli.

Jak obliczyć promień kuli z objętości?

Z objętości kuli: $\displaystyle r = \sqrt[3]{\\frac{3V}{4\pi}}$.

Co to jest średnica kuli?

Średnica kuli to podwójna długość promienia, czyli $\displaystyle d = 2r$.

Jakie jednostki stosujemy do objętości kuli?

Objętość kuli wyrażamy w jednostkach sześciennych: cm³, m³.

Kiedy stosujemy objętość kuli?

Objętość kuli jest ważna w zadaniach dotyczących brył okrągłych, np. piłek.

Fałsz czy prawda: Objętość kuli wzrasta drastycznie przy małym wzroście promienia.

Prawda, ponieważ objętość kuli zależy od sześcianu promienia.

Co to jest pole powierzchni kuli?

Pole powierzchni kuli obliczamy ze wzoru: $\displaystyle A = 4\pi r^2$.

Jak obliczyć objętość kuli o promieniu 3 m?

$\displaystyle V = \\frac{4}{3} \pi (3)^3 = 36\pi \approx 113.1$ m³.

Co to jest półkula?

Półkula to bryła powstała przez przecięcie kuli na pół.