Bac suite géométrique bac

Suite géométrique : définition.

Une suite géométrique est une suite de nombres où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre fixe appelé raison.

Exemple de suite géométrique.

Si la raison est 2 et le premier terme 3, la suite est 3, 6, 12, 24, ...

Formule du terme général.

Le terme général d'une suite géométrique est donné par $\displaystyle U_n = U_0 \cdot r^n$, où $\displaystyle U_0$ est le premier terme et $\displaystyle r$ la raison.

Calculer $\displaystyle U_5$ pour $\displaystyle U_0=4$, $\displaystyle r=3$.

On a $\displaystyle U_5 = 4 \cdot 3^5 = 972$.

Vrai ou faux : la somme des termes est toujours finie.

Faux. La somme des termes d'une suite géométrique converge seulement si $\displaystyle |r| < 1$.

Problème : un loyer augmente de 5% par an.

C'est une suite géométrique où la raison $\displaystyle r$ est 1,05.

Évaluer la somme de 5 premiers termes.

La somme $\displaystyle S_n$ est donnée par $\displaystyle S_n = U_0 \cdot \\frac{1 - r^n}{1 - r}$.

Exemple : somme des 5 premiers termes.

Pour $\displaystyle U_0=2$ et $\displaystyle r=2$, $\displaystyle S_5 = 2 \cdot \\frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 62$.

Vrai ou faux : toutes les suites géométriques sont croissantes.

Faux. Cela dépend de la valeur de $\displaystyle r$.

Application : population qui double tous les 10 ans.

C'est une suite géométrique avec $\displaystyle U_0$ population actuelle et $\displaystyle r=2$.

Graphique d'une suite géométrique.

Le graphique d'une suite géométrique est une courbe exponentielle, croissante si $\displaystyle r > 1$.

Calculer la raison si $\displaystyle U_3=16$ et $\displaystyle U_1=4$.

On a $\displaystyle U_3 = U_1 \cdot r^2 \Rightarrow 16 = 4 \cdot r^2 \Rightarrow r = 2$.

Quel est le premier terme si $\displaystyle U_2=18$ et $\displaystyle r=3$?

On a $\displaystyle U_2 = U_0 \cdot 3^2 \Rightarrow U_0 = \\frac{18}{9} = 2$.

Compléter : $\displaystyle U_0=5$, $\displaystyle r=0,5$, $\displaystyle U_4=$ ?

On a $\displaystyle U_4 = 5 \cdot (0,5)^4 = 5 \cdot 0,0625 = 0,3125$.

Problème : distance parcourue par une voiture.

Si elle parcourt 10 km le premier jour, doublant chaque jour, c'est une suite géométrique.

Quelle est la formule de la somme infinie ?

Si $\displaystyle |r| < 1$, la somme infinie est $\displaystyle S = \\frac{U_0}{1-r}$.

Exemple de somme infinie.

Pour $\displaystyle U_0=10$ et $\displaystyle r=0,5$, $\displaystyle S = \\frac{10}{1-0,5} = 20$.

Relation entre $\displaystyle U_n$ et $\displaystyle U_{n-1}$.

On a $\displaystyle U_n = U_{n-1} \cdot r$.

Quel est le 6ème terme si $\displaystyle U_1=1$, $\displaystyle r=2$?

Alors $\displaystyle U_6 = 1 \cdot 2^5 = 32$.

Vrai ou faux : le produit des termes est constant.

Vrai. Pour une suite géométrique, le produit des termes est constant si le nombre de termes est fixé.