Gymnasiet: trigonometri i trianglar

Vad är hypotenusan?

Den längsta sidan i en rätvinklig triangel, mittemot den räta vinkeln.

Fyll i: Katet + Katet = ...

Hypotenusa, enligt Pythagoras sats.

Sant eller falskt: Sinus är motsatt katet delat med hypotenusan.

Sant. Sinus definieras så för en vinkel i en rätvinklig triangel.

Beräkna längden av hypotenusan: 3 m och 4 m kateter.

Använd Pythagoras: $\displaystyle c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 m$.

Vad är cosinus?

Cosinus är närliggande katet delat med hypotenusan.

Jämför sinus och cosinus.

Sinus: motsatt/hypotenusa; Cosinus: närliggande/hypotenusa.

Fyll i: Tangens = ...

Motsatt katet delat med närliggande katet.

Vad är en rätvinklig triangel?

En triangel med en vinkel som är 90 grader.

Sant eller falskt: En triangel kan ha två räta vinklar.

Falskt. En triangel kan endast ha en rät vinkel.

Exempel på en tillämpning: Mätning av en byggnad.

Använd trigonometri för att beräkna höjden via avstånd och vinklar.

Vad är tangent av en vinkel?

Förhållandet mellan sinus och cosinus för den vinkeln.

Beräkna: Vinkel med 4 m motsatt och 3 m närliggande katet.

Använd tangens: $\displaystyle tan(v) = \frac{4}{3}$. Beräkna vinkel.

Beräkna höjden på ett träd.

Om du står 30 meter från trädet och vinkeln upp är 30 grader, kan höjden beräknas med: $\displaystyle h = 30 \cdot \tan(30°)$.

Sanna eller falska: Trigonometri används i byggbranschen.

Sann. Trigonometri används för att beräkna lutningar och avstånd i byggprojekt.

En bil kör 100 km till en stad med en vinkel på 45 grader.

Om du vill veta avståndet till staden i rät linje, använder du: $\displaystyle d = 100 \cdot \cos(45°)$.

Hur beräknar du en triangel i ett tak?

Mät avståndet till takets högsta punkt och vinkeln. Använd tangent för att beräkna höjden.

Vad är lutningen på en ramp som är 3 meter lång och 1 meter hög?

Lutningen beräknas med: $\displaystyle \text{slope} = \frac{1}{3} \Rightarrow \tan^{-1}(\frac{1}{3})$.

Fyll i: Avståndet mellan två punkter är ___ och vinkeln är 60 grader.

Om avståndet är 50 m, kan höjden beräknas med: $\displaystyle h = 50 \cdot \sin(60°)$.

Sanna eller falska: Trigonometri behövs för att beräkna hastighet.

Falsk. Trigonometri används inte för hastighet, men för riktning och avstånd.

En triangel har sidorna 4 m och 3 m. Vad är vinkeln mellan dem?

Använd cosinussatsen: $\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)$.

Beräkna avståndet till en byggnad.

Om avståndet är 20 m och vinkeln upp är 50 grader: $\displaystyle d = 20 \cdot \sec(50°)$.

Vad är sambandet mellan höjd och avstånd i en triangel?

Höjden i en triangel är proportionell mot avståndet och vinkeln. Använd sinus.

Jämför: tangent och sinus.

Tangent = $\displaystyle \frac{motstående}{närstående}$; Sinus = $\displaystyle \frac{motstående}{hypotenusan}$.

En väg lutar 10 grader, vilken höjd får man efter 200 m?

Använd: $\displaystyle h = 200 \cdot \sin(10°)$. H höjd beräknas till ca 34.5 m.

Vad är vinkelsumman i en triangel?

Vinkelsumman i en triangel är alltid 180 grader.

Beräkna den okända vinkeln: 50°, 70°?

Den okända vinkeln är 60° (180° - 50° - 70°).

Sidan mot 30° i en rätvinklig triangel är 5 cm. Vad är hypotenusan?

Hypotenusan är 10 cm (använder 30-60-90 triangeln relationer).

Sant eller falskt: I en likbent triangel är basvinklarna lika stora.

Sant - basvinklarna är alltid lika stora.

Fyll i: I en triangel med sidor 3 cm, 4 cm och ___ cm är den rätvinklig.

5 cm - 3-4-5 triangeln är rätvinklig.

Vilken typ av triangel har alla sidor olika längd?

En skalär triangel har alla sidor olika längd.

Om en vinkel är 45°, vad är de andra två vinklarna i en rätvinklig triangel?

De andra vinklarna är 45° och 90°.

Beräkna sidan a i triangeln: a = 6 cm, b = 8 cm, c = ?

Hypotenusan c = 10 cm (Pythagoras sats: $\displaystyle c = \sqrt{a^2 + b^2}$).

Vad är förhållandet mellan sidorna i en 30-60-90 triangel?

Sidorna förhåller sig i förhållandet 1:√3:2.

Ge exempel på en praktisk tillämpning av trigonometri.

Beräkning av höjden på ett träd med hjälp av vinklar och avstånd.

Om vinkeln A = 30° och sidan a = 5 cm, vad är sidan b?

Sidan b = 5√3/3 cm (använd sin och cos funktioner för beräkning).

Sant eller falskt: I en liksidig triangel är alla vinklar 60°.

Sant - i en liksidig triangel är alla vinklar lika stora.

Ett torn är 50 meter högt.

Om tornets skugga är 30 meter lång, beräkna vinkeln av elevationen. Använd tangent: $\displaystyle an( heta) = \frac{50}{30}$.

En triangel har sidor 7 cm, 24 cm och 25 cm.

Är triangeln rätvinklig? Använd Pythagoras sats: $\displaystyle 7^2 + 24^2 = 25^2$. Ja, den är rät.

Beräkna avståndet mellan två punkter.

Punkterna A(3, 4) och B(7, 1). Använd formeln för avstånd: $\displaystyle d = \sqrt{(7-3)^2 + (1-4)^2}$. Resultat: 5.

En båt seglar 10 km norrut och 6 km österut.

Beräkna båtens direkta avstånd från start. Använd hypotenusan: $\displaystyle d = \sqrt{10^2 + 6^2}$. Resultat: 11,66 km.

Hur påverkar lutningen av ett tak vattnets avrinning?

Högre lutning → snabbare avrinning. Låg lutning → långsammare avrinning.

En byggnad är 12 meter hög.

Om du står 16 meter från byggnaden, beräkna vinkeln av elevationen. Använd tangent: $\displaystyle an( heta) = \frac{12}{16}$.

Vinkeln mellan sidan 15 cm och sidan 20 cm är 60°.

Beräkna den tredje sidans längd med hjälp av cosinus: $\displaystyle c^2 = 15^2 + 20^2 - 2 imes 15 imes 20 imes \cos(60°)$. Resultat: 10 cm.

En väg lutar 5° uppåt.

Om du går 100 meter, hur mycket höjer du dig? Använd sinus: $\displaystyle h = 100 imes \sin(5°)$. Resultat: ca 8,73 meter.